20200202的数学作业

典型例题

1.

解：

由题易知，不在上不在上

此结论与已知条件矛盾，故，都在上，不在上

则可得

解得

故

证明：

设，

1. 若的斜率存在

设，代入，整理得

其中

由题有

由韦达定理

代入整理得

则

即此时过定点

2. 若的斜率不存在

设，此时，

则有

即

此时过椭圆右顶点，不存在两个交点

舍去


综上所述，直线恒过定点

---

2.

证明：

设，则

由题，有成立

又

故，

故

则以为直径的圆为

代入并整理得

令，解得

故以线段为直径的圆恒过顶点和

课堂练习

1.

解：

将代入，解得

设，，则

由题，的斜率一定存在

故可设，代入，整理得

其中

则

故

即

即直线恒过定点

---

2.

解：

， 为中点，为中点

设，，，

1. 若两直线斜率皆存在

设，则

将代入，整理得

其中

由韦达定理，

故，同理可得

即

即此时恒过定点

2. 若两直线斜率分别为和不存在

此时其中一条直线的方程为过

综上所述，直线恒过定点

课后作业

1.

证明：

由题，与的斜率一定存在且不为

设，则

将代入，整理得

其中

同理有

综上有

由韦达定理，

则

同理可得

故可求得

故

即

即直线恒过定点

---

2.

证明：

由题易知的斜率一定存在

故可设，，

将代入椭圆方程，整理得

其中

由韦达定理，

则

由题可知

又直线不经过

故直线恒过定点

---

3.

解：

由题，，则

将代入，整理得

其中

由韦达定理，，

故

故

设，

由，，且斜率不为

故可设，代入，整理得

其中

由韦达定理，，

又

即或

故（舍去）或

即直线恒过定点