13.数组

目录

一. 基本术语

二. 数组的抽象数据类型定义

三. 数组的顺序存储

四. 矩阵

（1）对称矩阵的存储

（2）三角矩阵的存储

（3）对角矩阵的存储

（4）稀疏矩阵的存储

顺序存储

链式存储

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一. 基本术语

数组：按一定格式排列起来的具有相同类型的数据元素的集合。
一维数组：若线性表中的数据元素为非结构的简单元素，则称为一维数组。
一维数组的逻辑结构：线性结构。定长的线性表。

声明格式：数据类型  变量名称[长度]；
例: int num[5] ={0, 1，2，3，4}；

二维数组：若一维数组中的数据元素又是一维数组结构，则称为二维数组。
二维数组的逻辑结构：特殊的线性结构

• 非线性结构：每一个数据元素既在一个行表中，又在一个列表中。
• 线性结构：该线性表的每个数据元素也是一定长的线性表个定长的线性表。

声明格式：数据类型  变量名称[行数][列数]；

在C语言中，一个二维数组类型也可以定义为一维数组类型(其数组元素类型为一维数组类型)，即：typedef elemtype array2[m][n]等价于以下两句：
typedef elemtype array1[n]；typedef array1 array2[m]；

类似的可以定义三维数组乃至更高维的数组：三维数组：若二维数组中的元素又是一个一维数组，则称作三维数组；n维数组：若n-1维数组中的元素又是一个一维数组结构，则称作n维数组。
线性表结构是数组结构的一个特例，而数组结构又是线性表结构的扩展。
数组特点：结构固定，定义后，维数和维界不再改变。
数组基本操作:除了结构的初始化和销毁之外，只有取元素和修改元素值的操作。

二. 数组的抽象数据类型定义

这里：n为数组的维数，bi为数组第i维的长度，ji为数组元素第i维的下标。显然ji应该在[0，bi-1]之间，因为下标从0开始。

例如，二维数组可看成有两个前驱，两个后继：

三. 数组的顺序存储

数组特点：结构固定——维数和维界不变。数组基本操作:初始化、销毁、取元素、修改元素值。
一般不做插入和删除操作。所以：一般都是采用顺序存储结构来表示数组。
注意：数组可以是多维的，但存储数据元素的内存单元地址是一维的。因此，在存储数组结构之前，需要解决将多维关系映射到一维关系的问题。

一维数组：

这里：i是下标，L是每个元素所占字节数，a是数组首地址。

二维数组：两种顺序存储方式：

• 以行序为主序（低下标优先）：BASIC，COBOL，PASCAL
• 以列序为主序（高下标优先）：FORTRAN

以行序为主序

 

以列序为主序

以行序为主序：设数组开始存储位置LOC(0,0)，存储每个元素需要L个存储单元，则数组元素a[i][j]的存储位置是：

把这个公式推广到n维数组：

四. 矩阵

矩阵：一个由mxn个元素排成的m行n列的表。矩阵的常规存储方式是将矩阵描述为一个二维数组。矩阵的常规存储的优点是可以对其元素进行随机存取。矩阵运算非常简单；存储的密度为1。

不适宜常规存储的矩阵：值相同的元素很多且呈某种规律分布；零元素多（稀疏矩阵）。

矩阵的压缩存储：为多个相同的非零元素只分配一个存储空间；对零元素不分配空间。

（1）对称矩阵的存储

特点：关于主对角线对称，；

存储方法：只存储下(或者上)三角(包括主对角线)的数据元素，共占用n(n+1)/2个元素空间。把它们放在一个一维数组sa[n(n+1)/2]中。下图存放了下三角元素，且采用行优先原则：

矩阵元素存放到一维数组下标为k的地方（k从0开始），给出关系式如下：

（2）三角矩阵的存储

特点：对角线以下（或者以上）的数据元素（不包括对角线）全部为c；

存储方法：重复元素c共享一个元素存储空间，共占用n(n+1)/2+1个元素空间：sa[n(n+1)/2+1]；我们写出矩阵下标i,j和一维数组下标k的关系。

上三角矩阵：

下三角矩阵：

（3）对角矩阵的存储

特点：在n*n的方阵中，所有非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中，区域外的值全为0，则称为对角矩阵。常见的有三对角矩阵、五对角矩阵、七对角矩阵等。

存储方法：以对角线位置存储，采用二维数组。

（4）稀疏矩阵的存储

稀疏矩阵：矩阵中所有元素，非零元素所占的比例一般不超过5%。

顺序存储

采用（i,j,value）三元组的存储方法，三元组唯一确定矩阵的一个非零元素。为更可靠描述，通常再加一个“总体”信息：即总行数、总列数、非零元素总个数。

链式存储

优点：它能够灵活地插入因运算而产生的新的非零元素，删除因运算而产生的新的零元素，实现矩阵的各种运算。在十字链表中，矩阵的每一个非零元素用一个结点表示。
该结点除了(row，col，value)以外，还要有两个域：

• right：用于链接同一行中的下一个非零元素；
• down：用以链接同一列中的下一个非零元素。

此外我们增设行指针和列指针，这样定量描述一个数组：