欧拉计划第二题

偶斐波那契数

斐波那契数列中的每一项都是前两项的和。由1和2开始生成的斐波那契数列的前10项为：

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…

考虑该斐波那契数列中不超过四百万的项，求其中为偶数的项之和。

首先我们要考虑斐波那契数列，由数学归纳法可得第n项(n > 2) f(n) = f(n - 1) + f(n - 2), 也就是第n项的前两项和;

然后开始解题

第一种解题方法暴力解题给定一个数组第一二项为1，2然后通过循环判断当前项是否为模2为0，结束条件就为第n项小于4000000下面是实现的代码

#include 
#define max_n 4000000

int main(){
    long long f[200000] = {1, 2};
    long long sum = 2;//直接从第3项开始，就把结果赋值为2
    int i = 2;
    while(1){
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]; 
        if(f[i] >= max_n) break;
        if(f[i] % 2 == 0) sum += f[i];
        i++;
    } 
    printf("%lld\n", sum);
    return 0;
}

进行对暴力解的优化，使用滚动数组法(优化了使用的空间):

#include 
#define max_n 4000000

int main(){
    long long f[2] = {1, 2}; // 因为第n项只会用到前两项的和，数组就保留两个位置
    long long sum = 2;
    int i = 2;
    while(1){
        f[i % 2] = f[(i - 1) % 2] + f[(i - 2) % 2]; // 为什么模2 因为第i项模二的位置就是i - 2 模2的位置 也就是 f(n - 2) 这项 因为在求 f（n + 1）时不会用到f(n - 2)了 所以 用 f(n) 的值覆盖，也就是f[i % 2],去覆盖f[(i - 2) % 2]的值；
        if(f[i % 2] >= max_n) break;
        if(f[i % 2] % 2 == 0) sum += f[i % 2];
        i++;
    } 
    printf("%lld\n", sum);
    return 0;
}

第二种方法我也是通过网上看到的方法

1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…

通过观察每隔3项才会是偶数， 为什么因为从3 项开始偶数加奇数等于奇数， 4项等于偶数加奇数等于奇数，第五项等于奇数加奇数等于偶数，通过这样的推断来得出的结论,也就是数学归纳法，然后通过F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) 这个公式进行推导

F(n)  = F(n − 1) + F(n − 2)

        = F(n − 2) + F(n − 3) + F(n − 3) + F(n − 4)

        = 2 * F (n − 3) + F(n − 2) + F(n − 4)

        = 2 * F(n − 3) + (F(n − 3) + F(n − 4)) + (F(n − 5)+F(n − 6))

        = 3 * F(n−3) + F(n − 4) + F(n − 5) + F(n − 6)

        = 4* F(n − 3) + F(n−6)

推导出F(n) = 4* F(n − 3) + F(n−6)

然后把2看为第一项，8看为第二项得出

F(n) = 4* F(n − 1) + F(n−2)

#include 
#define max_n 4000000
long long func1(){
    int f[2] = {2, 8};
    long long sum = 10;
    int i = 2;
    while(1){
        f[i % 2] = 4 * f[(i - 1) % 2] + f[(i - 2) % 2]; 
        if(f[i % 2] >= max_n) return sum;
        sum += f[i % 2];
        i++;
    }
    return 0;
}
int main(){          
    printf("%lld\n", func1());
    return 0;
}

最终答案为 4613732