【定积分】基本知识点+考点

定积分

本文将以 考点+一般的出题套路+一般解决方法 为脉络展开。

考点一：概念

• 要求曲边梯形的面积，但不好求
• 但是求矩形面积是方便的
• 划分成长条矩形（这里等不等分结果一样，所以采取等分）
• 一个长条矩形的面积 $S_i=\Delta x_{i}f({\xi }_i)$
• n个长条矩形的面积 $S={\Sigma }_{i=1}^n[\Delta x_{i}f({\xi }_i)]$
• 但是求矩形面积毕竟不够精准，所以将结果推向极限,对曲边梯形进行无限的分割：$S=li{m}_{n\to \infty }{\Sigma }_{i=1}^n[\Delta x_{i}f({\xi }_i)]$
• 其中，根据上图可以容易得到：$\Delta x_i=\frac{b-a}{n}$，$f({\xi }_i)=f(a+\frac{(b-a)i}{n})$，带入S的公式，就得到了定积分的定义。
• $$S={\int }_a^{b}f(x)dx=li{m}_{n\to \infty }{\Sigma }_{i=1}^n[\Delta x_{i}f({\xi }_i)]=li{m}_{n\to \infty }{\Sigma }_{i=1}^n[\frac{b-a}{n}f(a+\frac{(b-a)i}{n})]$$
• 这个考点一般以求无限项相加的极限的形式出现，而且一般只考a=0，b=1 的情况：$$li{m}_{n\to \infty }{\Sigma }_{i=1}^n[\frac{1}{n}f(\frac{i}{n})]={\int }_0^{1}f(x)dx$$
• 举个例子马上就懂了：

求以下极限： $$li{m}_{n\to \infty }{\Sigma }_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{i}{n}{)}^2}}\frac{1}{n}$$
这是一道无限项求和的题目，夹逼定理也许能做，但是看到 $\frac{i}{n}$ ,可以联想到定积分的定义。
使用定积分的定义，首先要找到$\Sigma$后面的那个 $\frac{1}{n}$，这道题里确实有 $\frac{1}{n}$；然后找 $f(\frac{i}{n})$ ,具体在这道题里是 $\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{i}{n}{)}^2}}$；都找到了，把 $\frac{i}{n}$ 替换成 $x$ 就可以带公式了，该极限就等于${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$.

• 其中找$\frac{1}{n}$不一定真的找原封不动的$\frac{1}{n}$，只要是$\frac{1}{n}$的等价无穷小都可以！
• 定积分的几何意义是面积的代数和，可正可负，不是面积之和；x轴上方是正的，下方是负的。

考点二：性质

• 可积必有界： $f(x)$可积，则$f(x)$在$[a,b]$有界。

• $f(x)$在$[a,b]$连续，则${\int }_a^{b}f(x)dx$ 存在。

• $f(x)$在$[a,b]$不连续，但是只有有限个第一类间断点，则${\int }_a^{b}f(x)dx$ 存在。

• 上下限交换添负号

• 上下限相同积分为零

• 对0在任意区间积分得零

• 被积函数$f(x)$ $g(x)$ 大小关系确定后，相同区间上的积分大小关系不变

• 绝对值在内$\ge$绝对值在外：${\int }_a^b|f(x)|dx\ge |{\int }_a^{b}f(x)dx|$

• 积分区间具有可拆性

• 积分中值定理：$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)，\xi \in [a,b]$$ 相当于找了个中间一点的值$\xi$，把积分写成了长乘宽的形式。使用前提是$f(x)$在$[a,b]$连续。注意是闭区间！

• 如果想用开区间的积分中值定理，用拉格朗日中值定理简单证明一步就可以了:
  $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(\xi )(b-a)，\xi \in (a,b)$$

• 遇到对称区间，立即检查被积函数是否（部分）是奇/偶函数。奇零偶倍是容易忽略的技巧。原理画个图就明白。

• $f(x)$是周期T函数，则$${\int }_a^{kx+T}f(x)dx=k{\int }_0^{T}f(x)dx$$

• 性质这组考点一般会这样考：让你比较几个积分的大小。

• 方法：这种题有一个基本方法：固定相同区间比较被积函数or固定被积函数比较区间，一般不用具体求出来，判定一下大于某个数或小于某个数就行了，这个数很可能是0。

• 可以先找题目这几个积分有什么相同点，看看能不能判断一下它想考什么知识点，比如给了三个相同的积分区间，而且都是关于原点对称的，可以大致往寄零偶倍的方向考虑，判断一下被积函数的奇偶。

考点三：积分上限函数

• $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$

• 只要是积分上限函数，一定是连续的。

• 若$f(x)$连续，F(x)是f(x)的一个原函数。

• 若$f(x)$有可去/跳跃间断点，则f(x)不存在原函数，F(x)存在且连续，但F(x)不可导。

• 积分上限函数求导。一共三种考法。

  • 第一种被积函数很规矩，直接求
  • 第二种${\int }_a^{x}g(x)f(t)dt$, 先提出和积分变量无关的因子g(x)，再求
  • 第三种，类似于${\int }_a^{x}f(x-t)dt$，和积分变量无关的项包裹在被积函数里，不能提，则先将其变量代换掉，同时积分上下限随之改变，再求

考点四：定积分计算

1.牛莱

• 牛顿莱布尼茨公式：就是先不看积分限，求原函数，再带入积分限计算。所以使用牛莱公式说白了就是求不定积分。求不定积分的方法参考这篇博文里的计算部分，这里不再赘述。

• 关于使用牛莱公式什么时候要换限：求不定积分用了换元，则不要忘记同时换积分限。如果没有使用换元，也就是你的积分变量没变（即使你凑了微分），那就不要换积分限。

2.奇零偶倍

• 遇到对称区间，或者被积函数非常复杂（一般复杂的不会真的让你算），检查被积函数（某一部分的）奇偶性。
• 如果区间对称，被积函数有奇偶性，直接奇零偶倍
• 如果区间对称，被积函数没有奇偶性，那一般可以试试区间再现代换，即令 $x=a+b-t$.代换之后积分上下限不变。然后使用$A=B=1/2(A+B)$的原理解题。

打颗栗子：$${\int }_{-1}^1\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}dx$$ 则让 $x=-1+1-t$

原式 =${\int }_1^{-1}\frac{1}{1+e^t}d(-t)={\int }_{-1}^1\frac{\frac{1}{e^t}}{1+\frac{1}{e^t}}dt=\frac{1}{2}({\int }_{-1}^1\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}dx+{\int }_{-1}^1\frac{\frac{1}{e^t}}{1+\frac{1}{e^t}}dt)$积分变量是t 还是x都无所谓，所以t可以写成x

$=\frac{1}{2}({\int }_{-1}^1\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}dx+{\int }_{-1}^1\frac{\frac{1}{e^x}}{1+\frac{1}{e^x}}dx)=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^{1}1dx=1$

3.使用周期性（见性质）

• 遇到$n\pi$，等常见的周期，考虑一下周期性
• 有些题比较恶心，给你一个抽象函数让你自己推周期性，这时候可以根据题目猜一下可能的周期，再带进题目给的已知等式去试。

4.一些零散的结论

• ${\int }_0^{\pi /2}f(sinx)dx={\int }_0^{\pi /2}f(cosx)dx$，区间不变，用区间再现就可以证明
• ${\int }_0^{\pi /2}f(sinx，cosx)dx={\int }_0^{\pi /2}f(cosx,sinx)dx$，证明同上
• 以上两个公式的用法：就是区间再现的用法，相加除二
• ${\int }_0^{\pi }xf(sinx)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(sinx)dx$，是课本例题
• 华莱士公式：偶数多乘$\frac{\pi }{2}$
  $${\int }_0^{\pi /2}si{n}^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}co{s}^{n}xdx=\{\begin{array}{l}n是奇数，\frac{(n-1)!!}{n!!}\\ n是偶数，\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{\pi }{2}\end{array}$$

考点五：反常积分

1.无限区间的反常积分

• 计算方法：
  • 就是用牛莱。只不过之前带入常数，现在带入$\pm \infty$, 也就是求一个极限。极限存在则反常积分收敛，极限不存在则反常积分发散。
  • 反常积分在不知道是否收敛的情况下，不要用奇零偶倍
  • 上下都是无穷，要拆成两部分算。
• 判断敛散性：
  • 可以直接计算极限，极限存在就收敛
  • 收敛+收敛=收敛
  • 收敛+发散=发散
  • 套用结论：${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx，p$大于1就收敛， 大于0小于等于1就发散
  • 结论推广：分母比分子次数大，且超过一次，就收敛
  • 结论推广：${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{xl{n}^{p}x}dx，p$大于1就收敛，小于1 就发散
  • 套用另一个结论：${\int }_a^{+\infty }{x}^k{e}^{-\lambda x}dx，\lambda$大于0就收敛，小于等于0就发散
  • 大收小收，小发大发。这句话的正确打开方式是，看一下这个要判断的积分的被积函数，和上面两个结论哪个是同阶无穷小，这样二者就是同敛散的。这时 p/λ 落在哪个区间，就对应发散或收敛。

  • 栗子：$${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x-ln(1+x)}dx$$，而$\frac{1}{x^2}和\frac{1}{x-ln(1+x)}dx是同阶无穷小，二者具有相同敛散性，此时p=2>0,所以收敛。$

  • ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$
  • ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }/2$

2.瑕积分

• 比较隐蔽，需要自己判断瑕点。
• 判断瑕点就是求这点的极限，如果极限是无穷就是瑕点
• 瑕点可能在内部

一道易错题：$${\int }_{-1}^1\frac{1}{x}dx$$是发散的，因为按0拆开之后，只要有一部分是发散的，整个就是发散的。

• 判断敛散性
  • $a是瑕点，{\int }_a^b\frac{1}{(x-a{)}^p}dx=\{\begin{array}{l}收敛,0<p<1\\ 发散，p\ge 1\end{array}$
  • $b是瑕点，{\int }_a^b\frac{1}{(b-x{)}^p}dx=\{\begin{array}{l}收敛,0<p<1\\ 发散，p\ge 1\end{array}$
  • 瑕点处的同阶无穷小同敛散。

考点六：定积分的应用

• 这部分我讲得不好，这个视频的P39-P42讲得非常好：https://www.bilibili.com/video/BV1Bh41127AU?p=35&spm_id_from=333.1007.top_right_bar_window_history.content.click

看完了就去刷课后题巩固一下吧~
纯手打，如有疏漏错误欢迎在留言区指正。