【定积分】基本知识点+考点

定积分

本文将以 考点+一般的出题套路+一般解决方法 为脉络展开。

考点一:概念

【定积分】基本知识点+考点_第1张图片

  • 要求曲边梯形的面积,但不好求
  • 但是求矩形面积是方便的
  • 划分成长条矩形(这里等不等分结果一样,所以采取等分)
  • 一个长条矩形的面积 S i = Δ x i f ( ξ i ) S_i=\Delta x_if(\xi_i) Si=Δxif(ξi)
  • n个长条矩形的面积 S = Σ i = 1 n [ Δ x i f ( ξ i ) ] S=\Sigma_{i=1}^{n} [ \Delta x_if(\xi_i)] S=Σi=1n[Δxif(ξi)]
  • 但是求矩形面积毕竟不够精准,所以将结果推向极限,对曲边梯形进行无限的分割: S = l i m n → ∞ Σ i = 1 n [ Δ x i f ( ξ i ) ] S=lim_{n\rightarrow\infty}\Sigma_{i=1}^{n} [ \Delta x_if(\xi_i)] S=limnΣi=1n[Δxif(ξi)]
  • 其中,根据上图可以容易得到: Δ x i = b − a n \Delta x_i=\frac{b-a}{n} Δxi=nba f ( ξ i ) = f ( a + ( b − a ) i n ) f(\xi_i)=f(a+\frac{(b-a)i}{n}) f(ξi)=f(a+n(ba)i),带入S的公式,就得到了定积分的定义。
  • S = ∫ a b f ( x ) d x = l i m n → ∞ Σ i = 1 n [ Δ x i f ( ξ i ) ] = l i m n → ∞ Σ i = 1 n [ b − a n f ( a + ( b − a ) i n ) ] S=\int_a^bf(x)dx=lim_{n\rightarrow\infty}\Sigma_{i=1}^{n} [ \Delta x_if(\xi_i)]=lim_{n\rightarrow\infty}\Sigma_{i=1}^{n} [\frac{b-a}{n}f(a+\frac{(b-a)i}{n})] S=abf(x)dx=limnΣi=1n[Δxif(ξi)]=limnΣi=1n[nbaf(a+n(ba)i)]
  • 这个考点一般以求无限项相加的极限的形式出现,而且一般只考a=0,b=1 的情况: l i m n → ∞ Σ i = 1 n [ 1 n f ( i n ) ] = ∫ 0 1 f ( x ) d x lim_{n\rightarrow\infty}\Sigma_{i=1}^{n} [\frac{1}{n}f(\frac{i}{n})]=\int_0^1f(x)dx limnΣi=1n[n1f(ni)]=01f(x)dx
  • 举个例子马上就懂了:

求以下极限: l i m n → ∞ Σ i = 1 n 1 1 − ( i n ) 2 1 n lim_{n\rightarrow\infty}\Sigma_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{i}{n})^2}}\frac{1}{n} limnΣi=1n1(ni)2 1n1
这是一道无限项求和的题目,夹逼定理也许能做,但是看到 i n \frac{i}{n} ni ,可以联想到定积分的定义。
使用定积分的定义,首先要找到 Σ \Sigma Σ后面的那个 1 n \frac{1}{n} n1,这道题里确实有 1 n \frac{1}{n} n1;然后找 f ( i n ) f(\frac{i}{n}) f(ni) ,具体在这道题里是 1 1 − ( i n ) 2 \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{i}{n})^2}} 1(ni)2 1;都找到了,把 i n \frac{i}{n} ni 替换成 x x x 就可以带公式了,该极限就等于 ∫ 0 1 1 1 − x 2 d x \int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx 011x2 1dx.

  • 其中找 1 n \frac{1}{n} n1不一定真的找原封不动的 1 n \frac{1}{n} n1,只要是 1 n \frac{1}{n} n1的等价无穷小都可以!
  • 定积分的几何意义是面积的代数和,可正可负,不是面积之和;x轴上方是正的,下方是负的。
考点二:性质
  • 可积必有界: f ( x ) f(x) f(x)可积,则 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]有界。

  • f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]连续,则 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx abf(x)dx 存在。

  • f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]不连续,但是只有有限个第一类间断点,则 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx abf(x)dx 存在。

  • 上下限交换添负号

  • 上下限相同积分为零

  • 对0在任意区间积分得零

  • 被积函数 f ( x ) f(x) f(x) g ( x ) g(x) g(x) 大小关系确定后,相同区间上的积分大小关系不变

  • 绝对值在内 ≥ \geq 绝对值在外: ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x ≥ ∣ ∫ a b f ( x ) d x ∣ \int_a^b|f(x)| dx\geq |\int _a^bf(x)dx| abf(x)dxabf(x)dx

  • 积分区间具有可拆性

  • 积分中值定理: ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) , ξ ∈ [ a , b ] \int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a),\xi \in [a,b] abf(x)dx=f(ξ)(ba)ξ[a,b] 相当于找了个中间一点的值 ξ \xi ξ,把积分写成了长乘宽的形式。使用前提是 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]连续。注意是闭区间

  • 如果想用开区间的积分中值定理,用拉格朗日中值定理简单证明一步就可以了:
    ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) = F ( ξ ) ( b − a ) , ξ ∈ ( a , b ) \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(\xi)(b-a),\xi \in (a,b) abf(x)dx=F(b)F(a)=F(ξ)(ba)ξ(a,b)

  • 遇到对称区间,立即检查被积函数是否(部分)是奇/偶函数。奇零偶倍是容易忽略的技巧。原理画个图就明白。

  • f ( x ) f(x) f(x)是周期T函数,则 ∫ a k x + T f ( x ) d x = k ∫ 0 T f ( x ) d x \int _a^{kx+T}f(x)dx=k\int_0^Tf(x)dx akx+Tf(x)dx=k0Tf(x)dx

  • 性质这组考点一般会这样考:让你比较几个积分的大小。

  • 方法:这种题有一个基本方法:固定相同区间比较被积函数or固定被积函数比较区间,一般不用具体求出来,判定一下大于某个数或小于某个数就行了,这个数很可能是0。

  • 可以先找题目这几个积分有什么相同点,看看能不能判断一下它想考什么知识点,比如给了三个相同的积分区间,而且都是关于原点对称的,可以大致往寄零偶倍的方向考虑,判断一下被积函数的奇偶。

考点三:积分上限函数
  • F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t F(x)=\int_a^xf(t)dt F(x)=axf(t)dt

  • 只要是积分上限函数,一定是连续的。

  • f ( x ) f(x) f(x)连续,F(x)是f(x)的一个原函数。

  • f ( x ) f(x) f(x)有可去/跳跃间断点,则f(x)不存在原函数,F(x)存在且连续,但F(x)不可导。

  • 积分上限函数求导。一共三种考法。

    • 第一种被积函数很规矩,直接求
    • 第二种 ∫ a x g ( x ) f ( t ) d t \int_a^xg(x)f(t)dt axg(x)f(t)dt, 先提出和积分变量无关的因子g(x),再求
    • 第三种,类似于 ∫ a x f ( x − t ) d t \int_a^xf(x-t)dt axf(xt)dt,和积分变量无关的项包裹在被积函数里,不能提,则先将其变量代换掉,同时积分上下限随之改变,再求
考点四:定积分计算

1.牛莱

  • 牛顿莱布尼茨公式:就是先不看积分限,求原函数,再带入积分限计算。所以使用牛莱公式说白了就是求不定积分。求不定积分的方法参考这篇博文里的计算部分,这里不再赘述。

  • 关于使用牛莱公式什么时候要换限:求不定积分用了换元,则不要忘记同时换积分限。如果没有使用换元,也就是你的积分变量没变(即使你凑了微分),那就不要换积分限。

2.奇零偶倍

  • 遇到对称区间,或者被积函数非常复杂(一般复杂的不会真的让你算),检查被积函数(某一部分的)奇偶性。
  • 如果区间对称,被积函数有奇偶性,直接奇零偶倍
  • 如果区间对称,被积函数没有奇偶性,那一般可以试试区间再现代换,即令 x = a + b − t x=a+b-t x=a+bt.代换之后积分上下限不变。然后使用 A = B = 1 / 2 ( A + B ) A=B=1/2(A+B) A=B=1/2(A+B)的原理解题。

打颗栗子: ∫ − 1 1 1 1 + 1 e x d x \int_{-1}^1\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}dx 111+ex11dx 则让 x = − 1 + 1 − t x=-1+1-t x=1+1t

原式 = ∫ 1 − 1 1 1 + e t d ( − t ) = ∫ − 1 1 1 e t 1 + 1 e t d t = 1 2 ( ∫ − 1 1 1 1 + 1 e x d x + ∫ − 1 1 1 e t 1 + 1 e t d t ) \int_{1}^{-1}\frac{1}{1+{e^t}}d(-t)=\int_{-1}^1\frac{\frac{1}{e^t}}{1+\frac{1}{e^t}}dt=\frac{1}{2}(\int_{-1}^1\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}dx+\int_{-1}^1\frac{\frac{1}{e^t}}{1+\frac{1}{e^t}}dt) 111+et1d(t)=111+et1et1dt=21(111+ex11dx+111+et1et1dt)积分变量是t 还是x都无所谓,所以t可以写成x

= 1 2 ( ∫ − 1 1 1 1 + 1 e x d x + ∫ − 1 1 1 e x 1 + 1 e x d x ) = 1 2 ∫ − 1 1 1 d x = 1 =\frac{1}{2}(\int_{-1}^1\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}dx+\int_{-1}^1\frac{\frac{1}{e^x}}{1+\frac{1}{e^x}}dx)=\frac{1}{2}\int_{-1}^11dx=1 =21(111+ex11dx+111+ex1ex1dx)=21111dx=1

3.使用周期性(见性质)

  • 遇到 n π n\pi nπ,等常见的周期,考虑一下周期性
  • 有些题比较恶心,给你一个抽象函数让你自己推周期性,这时候可以根据题目猜一下可能的周期,再带进题目给的已知等式去试。

4.一些零散的结论

  • ∫ 0 π / 2 f ( s i n x ) d x = ∫ 0 π / 2 f ( c o s x ) d x \int_0^{\pi/2}f(sinx)dx=\int_0^{\pi/2}f(cosx)dx 0π/2f(sinx)dx=0π/2f(cosx)dx,区间不变,用区间再现就可以证明
  • ∫ 0 π / 2 f ( s i n x , c o s x ) d x = ∫ 0 π / 2 f ( c o s x , s i n x ) d x \int_0^{\pi/2}f(sinx,cosx)dx=\int_0^{\pi/2}f(cosx,sinx)dx 0π/2f(sinxcosx)dx=0π/2f(cosx,sinx)dx,证明同上
  • 以上两个公式的用法:就是区间再现的用法,相加除二
  • ∫ 0 π x f ( s i n x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( s i n x ) d x \int_0^{\pi}xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(sinx)dx 0πxf(sinx)dx=2π0πf(sinx)dx,是课本例题
  • 华莱士公式:偶数多乘 π 2 \frac{\pi}{2} 2π
    ∫ 0 π / 2 s i n n x d x = ∫ 0 π / 2 c o s n x d x = { n 是 奇 数 , ( n − 1 ) ! ! n ! ! n 是 偶 数 , ( n − 1 ) ! ! n ! ! π 2 \int_0^{\pi/2}sin^nxdx=\int_0^{\pi/2}cos^nxdx=\begin{cases}n是奇数,\frac{(n-1)!!}{n!!} \\n是偶数,\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{\pi}{2} \end{cases} 0π/2sinnxdx=0π/2cosnxdx={nn!!(n1)!!nn!!(n1)!!2π
考点五:反常积分

1.无限区间的反常积分

  • 计算方法:
    • 就是用牛莱。只不过之前带入常数,现在带入 ± ∞ \pm\infty ±, 也就是求一个极限。极限存在则反常积分收敛,极限不存在则反常积分发散。
    • 反常积分在不知道是否收敛的情况下,不要用奇零偶倍
    • 上下都是无穷,要拆成两部分算。
  • 判断敛散性:
    • 可以直接计算极限,极限存在就收敛
    • 收敛+收敛=收敛
    • 收敛+发散=发散
    • 套用结论: ∫ a + ∞ 1 x p d x , p \int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx,p a+xp1dxp大于1就收敛, 大于0小于等于1就发散
    • 结论推广:分母比分子次数大,且超过一次,就收敛
    • 结论推广: ∫ a + ∞ 1 x l n p x d x , p \int_a^{+\infty}\frac{1}{xln^px}dx,p a+xlnpx1dxp大于1就收敛,小于1 就发散
    • 套用另一个结论: ∫ a + ∞ x k e − λ x d x , λ \int_a^{+\infty}x^ke^{-\lambda x}dx,\lambda a+xkeλxdxλ大于0就收敛,小于等于0就发散
    • 大收小收,小发大发。这句话的正确打开方式是,看一下这个要判断的积分的被积函数,和上面两个结论哪个是同阶无穷小,这样二者就是同敛散的。这时 p/λ 落在哪个区间,就对应发散或收敛。
    • 栗子: ∫ a + ∞ 1 x − l n ( 1 + x ) d x \int_a^{+\infty}\frac{1}{x-ln(1+x)}dx a+xln(1+x)1dx,而 1 x 2 和 1 x − l n ( 1 + x ) d x 是 同 阶 无 穷 小 , 二 者 具 有 相 同 敛 散 性 , 此 时 p = 2 > 0 , 所 以 收 敛 。 \frac{1}{x^{2}}和\frac{1}{x-ln(1+x)}dx是同阶无穷小,二者具有相同敛散性, 此时p=2>0,所以收敛。 x21xln(1+x)1dxp=2>0,

    • ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} +ex2dx=π
    • ∫ 0 + ∞ e − x 2 d x = π / 2 \int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}/2 0+ex2dx=π /2

2.瑕积分

  • 比较隐蔽,需要自己判断瑕点。
  • 判断瑕点就是求这点的极限,如果极限是无穷就是瑕点
  • 瑕点可能在内部

一道易错题: ∫ − 1 1 1 x d x \int_{-1}^1\frac{1}{x}dx 11x1dx是发散的,因为按0拆开之后,只要有一部分是发散的,整个就是发散的。

  • 判断敛散性
    • a 是 瑕 点 , ∫ a b 1 ( x − a ) p d x = { 收 敛 , 0 < p < 1 发 散 , p ≥ 1 a是瑕点,\int_a^b\frac{1}{(x-a)^p}dx=\begin{cases}收敛,0aab(xa)p1dx={,0<p<1p1
    • b 是 瑕 点 , ∫ a b 1 ( b − x ) p d x = { 收 敛 , 0 < p < 1 发 散 , p ≥ 1 b是瑕点,\int_a^b\frac{1}{(b-x)^p}dx=\begin{cases}收敛,0bab(bx)p1dx={,0<p<1p1
    • 瑕点处的同阶无穷小同敛散。

考点六:定积分的应用

  • 这部分我讲得不好,这个视频的P39-P42讲得非常好:https://www.bilibili.com/video/BV1Bh41127AU?p=35&spm_id_from=333.1007.top_right_bar_window_history.content.click

看完了就去刷课后题巩固一下吧~
纯手打,如有疏漏错误欢迎在留言区指正。

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