LCP 24. 数字游戏

令数组满足$nums[i]+1=nums[i+1]$,经典问题了，直接做不好做,因为每个数字被位置信息制约了，一般来说这样制约可能就会想去dp或爆搜。但也可以通过转化一下数组变为好做的形式。
$nums[i]+1=nums[i+1]\to nums[i]-i=nums[i+1]-(i+1)$
因此，题目就转化为最少的步骤满足$\forall i,nums[i]-i=k$
令$num{s}_{new}[i]=nums[i]-i$，这样的话只要保证所有$num{s}_{new}[i]$相等就可以了。

然后问题就转换成n个数字通过加1减1最小需要多少步才能使其全部相等。

• 先证明最终相等的数必然是数组中的一个元素

假设a是一个坐标，令$nums[a]<=x<nums[a+1]$，则使所有数都等于x的代价为
$a\ast x-{\sum }_{i=1}^{a}nums[i]+{\sum }_{i=a+1}^{n}nums[i]-(n-a)\ast x=(2a-n)x-{\sum }_{i=1}^{a}nums[i]+{\sum }_{i=a+1}^{n}nums[i]$
令$f(x)={\sum }_{i=1}^{x}nums[i]$
则代价为$(2a-n)x+f(n)-2f(a)$，由于$f(n)$是已知的，令$g(x)=(2a-n)x-2f(a)$
目的就是使$g(n)$尽可能小，此时令$x=nums[a]$有最小值，因此最终值k一定是其中的一个数值。

• 然后证明中位数最好

令$d(a)=(2a-n)nums[a]-2f(a)$
则
$$\begin{gathered} d(a+1)-d(a)=(2a+2-n)nums[a+1]-2f(a+1)-(2a-n)nums[a]+2f(a) \\ =(2a+2-n)nums[a+1]-2num[a+1]-(2a-n)nums[a] \\ =(2a-n)nums[a+1]-(2a-n)nums[a] \\ =(2a-n)(nums[a+1]-nums[a]) \end{gathered}$$
因此$\nabla d=(2a-n)(nums[a+1]-nums[a])$，由于 $nums[a+1]-nums[a]>=0$
显然有
$$\{\begin{array}{rlr}\nabla d<=0& & ,2a-n<0\\ \nabla d>=0& & ,2a-n>0\end{array}$$
即当$a<n/2$时，$d(a)$递减，而$a>n/2$时,$d(a)$递增。
因此得出结论，当a为中位数时，d(x)有最小值。

找所有[0,i]的中位数就可以了，方法有很多，优先队列，线段树啥的都行。代码有空再补