剖析深度优先搜索（一）理解for循环与递归的关系

  深度优先搜索，是一种搜索方式，它往往树形图紧密联系，因而通过画图可以帮助我们很好的理解搜索过程，同时它也往往通过递归来实现，因而，对递归的理解以及写出恰当的递归对我们来说十分重要
  而对于递归的理解，我认为对For循环与递归的关系认识格外的重要，我们对递归本身就已经挺头疼的了，而此时的深度搜索往往是for循环嵌套递归，循环与递归的结合，如果我们可以理解for循环与递归结合后实现的效果，理解for循环与递归各自的发挥的作用，那么对于深度优先搜索的理解大有裨益，与深度优先搜索有关的剪枝与回溯也可以较好的理解，那 么我们就首先通过一道例题来理解它吧。

例1，数的划分
  题目描述
  将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两个方案不相同(不考虑顺序)，例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的：1,1,5; 1,5,1; 5,1,1;
问有多少种不同的分法。
  输入输出格式
   输入
   7 3
   输出
   4
这4种可能分别为（115 124 133 223 ）

  我们大多能直接想到的便是for循环，可是乍一想却不知道怎样下手，那么我们可以先降降难度，我们将题目变为将整数n分为3份，接下来我们自然会想到用三层循环，分别确定第一个数，第二个数，第三个数。
  代码如下:

#include 
using namespace std;
int a[100];//用于临时存储得到的数字

int main() {
	int n;
	int d = 0;//总方案数
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		a[1] = i;
		for (int j = i; j <= n; j++) {
			a[2] = j;
			for (int k = j; k <= n; k++) {
				a[3] = k;
				if (i + j + k == n)
					d++;
			}
		}
	}
	cout << d;
}

注意细节
  除了第一层，其余每一层的起始不是1，而是上一层的变量值，它的目的是为了排除重复的组合，如果内层继续从1开始，会出现115 511 151这样的情况（可以与例2做对比）。
  通过观察我们会发现，如果我们分割为4个数就需要4层for循环，50个数就50层for循环，k个数就k层for循环，我们不知道k具体是多少，那么就无法实现这个程序，即使知道，我们也不可能真的写50层for循环。而这时候我们发现它每一层的for循环，有一些结构是类似的，比如，变量的起始位置，结束位置，赋值……这时候我们便可以用递归进行一个统一，递归函数如下：

#include 
using namespace std;
int n;
int a[100];
int d = 0;
int s;

void dfs(int k) {
	if (k == n + 1) {
		int sum = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			sum = sum + a[i];
		    if (sum == s)
			    d++;
		return ;
	}
	for (int i = a[k - 1]; i <= s; i++) {
		a[k] = i;
		dfs(k + 1);
	}
}

int main() {
	a[0] = 1;
	cin >> s >> n;
	dfs(1);
	cout << d;
}

我们就需要格外注意这两部分的关系：

  会发现下图其实是对上图这个dfs（）的深层展开，直到展开到最后k+1，判断输出即可。

  那么实际上for循环实现的是第i个数选择什么，而递归负责深入到第i+1个数进行选择。
  我们再来看一道题，通过这道题我们可以看到深层搜索中回溯这种操作的影子。
例2，1-n的全排列
  题目描述
  输出所有1-n的全排列
  输入输出格式
   输入
   3
   输出
  123
  132
  213
  231
  312
  321
  同样，我们首先降一降难度，研究输出某一个特定数字，比如3的全排列，这时候我们需要三层循环，代码如下

#include 
using namespace std;
int mark[10];//表示i这个数是否用过

int main() {
	for (int i = 1; i <= 3; i++) {
		if (!mark[i]) {
			mark[i] = 1;
			for (int j = 1; j <= 3; j++) {
				if (!mark[j]) {
					mark[j] = 1;
					for (int k = 1; k <= 3; k++) {
						if (!mark[k]) {
							mark[k] = 1;
							cout << i << j << k;
							cout << endl;
							mark[k] = 0;
						}

					}
					mark[j] = 0;
				}

			}
			mark[i] = 0;
		}

	}
}

注意一些细节
  1，每一层的for循环的起始位置都从1开始，和上一题不同，本质原因是组合与排列的不同，例1是组合，例2是排列，相关例题在之后我也会深入对比，本节主要研究for循环与递归的关系。
  2，每一层for循环内都有一个mark 标记，表示i这个数是否被用，只有标记为0表示没有被用才可以继续使用。每一层结束前都需要将标记改为0。

  那么与上一题同样，如果是1-n便需要n层for循环，我们也可以通过递归来统一，代码如下

#include 
using namespace std;
int n;
int a[100];
int mark[100];


void dfs(int step) {
	if (step == n + 1) {
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			cout << a[i];
		cout << endl;
		return;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (!mark[i]) {
			mark[i] = 1;
			a[step] = i;
			dfs(step + 1);
			mark[i] = 0;
		}

	}

}

int main() {
	cin >> n;
	dfs(1);
}

  对照两个程序段我们发现他们其实一模一样，多层for循环都通过dfs（）给统一了，就连if语句，mark的归零也都一样。
  dfs()下面的那一部分称为回溯，是比较难理解的，但我们如果对照两个程序，首先理解第一个程序3的for循环的嵌套，明白结束for循环后mark归零的意义，那么对于递归的理解，以及对递归后的回溯操作就比较好理解了。
  深度优先搜索效率比较低，但有些问题能想到暴力搜索已经很不错了，为了提升效率，我们可以进行剪枝的操作，这一部分我在后续总结，例1实际上还可以使用动态规划，我也在动态规划的章节里给大家分析。
  本节其实有两大类问题，排列问题，组合问题，还有一些排列问题与组合问题的变形，如拆分问题，数独问题，n皇后问题，我也在后续帮大家分析。