连续自然数的平方和

连续自然数的平方和

$1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=?$

看成数列 $a_n=n^2,(n\in N^{+})$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

$S_n=1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2$

$=1\times (2-1)+2\times (3-1)+3\times (4-1)+4\times (5-1)+...+n\times (n+1-1)$

$=1\times 2+2\times 3+3\times 4+4\times 5+...+n\times (n+1)-(1+2+3+4+...+n)$

$=[1\times 2+2\times 3+3\times 4+4\times 5+...+n\times (n+1)]\times 3÷3-\frac{(1+n)\times n}{2}$

$=\frac{1\times 2\times 3+2\times 3\times (4-1)+3\times 4\times (5-2)+4\times 5\times (6-3)+...+n\times (n+1)\times [n+2-(n-1)]}{3}-\frac{(1+n)\times n}{2}$

$=\frac{1\times 2\times 3-1\times 2\times 3+2\times 3\times 4-2\times 3\times 4+3\times 4\times 5-3\times 4\times 5+4\times 5\times 6-...+n\times (n+1)\times [n+2-(n-1)]}{3}-\frac{(1+n)\times n}{2}$

$=\frac{n\times (n+1)\times (n+2)}{3}-\frac{(1+n)\times n}{2}$

$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

$\therefore S_n=1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

数列 $a_n=n^2,(n\in N^{+})$ 的前 $n$ 项和 $S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$