约数和定理

约数和定理

定理

对于一个大于1的正整数n可以分解质因数：$n=p_1^{{\alpha }_1}\ast p_2^{{\alpha }_2}\ast \cdots p_k^{{\alpha }_k}$，由约数个数定理可知，n的正约数的个数有$({\alpha }_1+1)({\alpha }_2+1)\cdots ({\alpha }_k+1)$个。

那么n的$({\alpha }_1+1)({\alpha }_2+1)\cdots ({\alpha }_k+1)$个正约数的和为：$f(n)=(p_1^0+p_1^1+\cdots +p_1^{{\alpha }_1})(p_2^0+p_2^1+\cdots +p_2^{{\alpha }_2})\cdots (p_k^0+p_k^1+\cdots +p_k^{{\alpha }_k})$。

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证明

若n可以分解质因数：$n=p_1^{{\alpha }_1}\ast p_2^{{\alpha }_2}\ast \cdots p_k^{{\alpha }_k}$，可知$p_1^{{\alpha }_1}$的约数有：$p_1^0、p_1^1\cdots p_1^{{\alpha }_1}$，$\cdots$，同理可知，$p_k^{{\alpha }_k}$的约数有：$p_k^0、p_k^1、\cdots p_k^{{\alpha }_k}$。实际上n的约数就是在$p_1^{{\alpha }_1}$，$p_2^{{\alpha }_2}$，$\cdots$，$p_k^{{\alpha }_k}$每一个的约数中 分别随便挑出一个因子来相乘而得到的。由乘法原理可知它们的和为：$f(n)=(p_1^0+p_1^1+p_1^2+\cdots +p_1^{{\alpha }_1})(p_2^0+p_2^1+\cdots +p_2^{{\alpha }_2})\cdots (p_k^0+p_k^1+\cdots +p_k^{{\alpha }_k})$。

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例题

正整数360的所有正约数的和是多少？

解：将360分解质因数可得

360=$2^3\ast 3^2\ast 5^1$;

由约数和定理可知，360所有正约数的和为

$(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)(5^0+5^1)=(1+2+4+8)(1+3+9)(1+5)=1170$。

可知360的约数有1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180、360；则约数之和为

1+2+3+4+5+6+8+9+10+12+15+18+20+24+30+36+40+45+60+72+90+120+180+360=1170。

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题目描述

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核心思路

这一题可以用约数和定理来求解。

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代码

#include
#include
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long LL;
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    unordered_mapprimes;
    while (n--)
    {
        int x;
        cin >> x;
        //将每一个整数x都分解质因数
        for (int i = 2; i <= x / i; i++)
        {
            while (x % i == 0)
            {
                primes[i]++;
                x /= i;
            }
        }
        if (x > 1)
            primes[x]++;
    }
    LL res = 1;
    //运用 约数和定理 来求解答案
    for (auto it : primes)
    {
        LL p = it.first, a = it.second;//p是底数 a是指数
        LL t = 1;
        while (a--)
            t = (t * p + 1) % mod;//这里也取模是防止溢出，确保中间结果不会溢出。
        res = res * t % mod;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

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