高等数学：线性代数-第五章
文章目录
- 第5章 相似矩阵及二次型
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- 5.1 向量的内积、长度及正交性
- 5.2 方阵的特征值与特征向量
- 5.3 相似矩阵
- 5.4 对称矩阵的对角化
- 5.5 二次型及其标准型
- 5.6 正定二次型
第5章 相似矩阵及二次型
5.1 向量的内积、长度及正交性
内积 设有 n 维向量
x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) , y = ( y 1 y 2 ⋮ y n ) \bm x= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix},~ \bm y= \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \\ \end{pmatrix} \\ x= x1x2⋮xn , y= y1y2⋮yn
令
[ x , y ] = ∑ i = 1 n x i y y [\bm x,\bm y]=\sum_{i=1}^{n}x_iy_y \\ [x,y]=i=1∑nxiyy
则称 [ x , y ] [\bm x,\bm y] [x,y]为向量 x \bm x x 与 y \bm y y 的内积。
内积具有下列性质：
[ x , y ] = [ y , x ] [ λ x , y ] = λ [ x , y ] [ x + y , z ] = [ x , z ] + [ y , z ] [\bm x,\bm y]=[\bm y,\bm x] [\lambda\bm x,\bm y]=\lambda[\bm x,\bm y] [\bm x+\bm y,\bm z]=[\bm x,\bm z]+[\bm y,\bm z] [x,y]=[y,x][λx,y]=λ[x,y][x+y,z]=[x,z]+[y,z]
Cauchy-Schwarz不等式
[ x , y ] 2 ≤ [ x , x ] [ y , y ] [\bm x,\bm y]^2\leq[\bm x,\bm x][\bm y,\bm y] \\ [x,y]2≤[x,x][y,y]
向量的长度（2-范数） 令
∣ ∣ x ∣ ∣ = [ x , x ] = ∑ i = 1 n x i 2 \vert\vert\bm x\vert\vert=\sqrt{[\bm x,\bm x]}=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \\ ∣∣x∣∣=[x,x]=i=1∑nxi2
则称 ∣ ∣ x ∣ ∣ \vert\vert\bm x\vert\vert ∣∣x∣∣为向量 x \bm x x的长度，又称2-范数。
夹角 令
θ = arctan [ x , y ] ∣ ∣ x ∣ ∣ ∣ ⋅ ∣ y ∣ ∣ \theta=\arctan{\frac{[\bm x,\bm y]}{\vert\vert\bm x\vert\vert\vert\cdot\vert\bm y\vert\vert}} \\ θ=arctan∣∣x∣∣∣⋅∣y∣∣[x,y]
则称 θ \theta θ为向量 x \bm x x与 y \bm y y的夹角。
正交 当 [ x , y ] = 0 [\bm x,\bm y]=0 [x,y]=0时，称向量 x \bm x x 与 y \bm y y正交。
向量 x \bm x x 与 y \bm y y 正交时， θ = 0 \theta=0 θ=0 .
正交矩阵 如果 n 阶矩阵 A \bm A A满足
A T A = E \bm A^\mathrm T\bm A=\bm E \\ ATA=E
即
A − 1 = A T \bm A^{-1}=\bm A^\mathrm T \\ A−1=AT
则称矩阵 \bm A 为正交矩阵，简称正交阵。
5.2 方阵的特征值与特征向量
特征值 设 A \bm A A 是 n 阶矩阵，如果数 λ \lambda λ 和 n 维非零列向量 x \bm x x 使
A x = λ x \bm{Ax}=\lambda\bm x \\ Ax=λx
成立，则 λ \lambda λ 称为矩阵 A \bm A A 的特征值， x \bm x x 称为 A \bm A A的对应于特征值 λ \lambda λ 的特征向量。
特征方程 方程 A x = λ x \bm{Ax}=\lambda\bm x Ax=λx可写成
( A − λ E ) x = 0 (\bm{A}-\lambda\bm E)\bm x=\bm 0 \\ (A−λE)x=0
它有非零解的充分必要条件是 ∣ A x − λ E ∣ = 0 |\bm{Ax}-\lambda\bm E|=0 ∣Ax−λE∣=0 ，即
∣ a 11 − λ a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 − λ ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n − λ ∣ = 0 \begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda \\ \end{vmatrix} = 0 \\ a11−λa21⋮an1a12a22−λ⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann−λ =0
上式称为矩阵 A \bm A A的特征方程。多项式 f ( λ ) = ∣ A − λ E ∣ f(\lambda)=|\bm{A}-\lambda\bm E| f(λ)=∣A−λE∣称为矩阵 A \bm A A 的特征多项式。矩阵 A \bm A A的特征值就是该矩阵特征方程的解。
对于矩阵 A \bm A A的 n 个特征值，满足：
∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i ∏ i = 1 n λ i = ∣ A ∣ \sum_{i=1}^n\lambda_i=\sum_{i=1}^n a_{ii}\\ \prod_{i=1}^n\lambda_i=|\bm A| i=1∑nλi=i=1∑naiii=1∏nλi=∣A∣
5.3 相似矩阵
相似矩阵 设 A \bm A A 、 B \bm B B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P \bm P P ，使得
P − 1 A P = B \bm P^{-1}\bm{AP}=\bm B \\ P−1AP=B
则称矩阵 A \bm A A与 B \bm B B 相似，对 A \bm A A 进行 P − 1 A P \bm P^{-1}\bm{AP} P−1AP 运算称为对 A \bm A A 进行相似变换，可逆矩阵 P \bm P P 称为把 A \bm A A 变成 B \bm B B 的相似变换矩阵。
若矩阵 A \bm A A 与 B \bm B B 相似，则 A \bm A A 与 B \bm B B的特征多项式相同，进而特征值也相同。
若 n 阶矩阵 A \bm A A与对角矩阵
Λ = ( λ 1 λ 2 ⋱ λ n ) \bm\Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1\\ &\lambda_2\\ &&\ddots\\ &&&\lambda_n\\ \end{pmatrix} \\ Λ= λ1λ2⋱λn
相似，则 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn即是 A \bm A A的 n 个特征值。
矩阵对角化 寻求相似变换矩阵 P \bm P P ，使得 P − 1 A P = Λ \bm P^{-1}\bm{AP}=\bm\Lambda P−1AP=Λ 为对角矩阵，这样的过程称为矩阵对角化。
n 阶矩阵 A \bm A A 能对角化的充分必要条件是 A \bm A A有 n 个线性无关的特征向量。
5.4 对称矩阵的对角化
定理 设 A \bm A A为 n 阶对称矩阵， λ \lambda λ是 A \bm A A的特征方程的 k 重根，则矩阵 A − λ E \bm A-\lambda\bm E A−λE 的秩 R ( A − λ E ) = n − k R(\bm A-\lambda\bm E)=n-k R(A−λE)=n−k ，从而对应特征值 λ \lambda λ 恰有 k 个线性无关的特征向量。
5.5 二次型及其标准型
二次型 含有 n 个变量 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn的二次齐次函数
f = f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = ∑ i , j = 1 n a i j x i x j f=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j \\ f=f(x1,x2,⋯,xn)=i,j=1∑naijxixj
称为二次型。特别地，当 a i j a_{ij} aij为复数时， f 称为复二次型；当 a i j a_{ij} aij 为实数时， f 称为实二次型。
标准型 对于二次型，若有可逆的线性变换
x i = ∑ k = 1 n c i k y k , 1 ≤ k ∈ Z ≤ n x_i=\sum_{k=1}^nc_{ik}y_k,~~1\leq k\in\mathbb Z\leq n \\ xi=k=1∑ncikyk, 1≤k∈Z≤n
使二次型只含平方项，也就是说
f = ∑ i = 1 n k i y i 2 f=\sum_{i=1}^nk_iy_i^2 \\ f=i=1∑nkiyi2
成立。这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型（或法式）。
规范型 如果标准型的系数 k i k_i ki 满足
k i ∈ { − 1 , 0 , 1 } k_i\in\{-1,0,1\} \\ ki∈{−1,0,1}
，则该标准型称为二次型的规范型。
二次型的矩阵 二次型
f = ∑ i , j = 1 n a i j x i x j f=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j \\ f=i,j=1∑naijxixj
可写成
f = ( x 1 x 2 ⋯ x n ) ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) f= \begin{pmatrix} x1 & x2 & \cdots & x_n \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix} \\ f=(x1x2⋯xn) a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann x1x2⋮xn
记
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) , x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) \bm A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix},~~ \bm x= \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix} \\ A= a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann , x= x1x2⋮xn
则二次型 f 可记作
f = x T A x f=\bm x^\mathrm T\bm A\bm x \\ f=xTAx
其中，对称矩阵 A \bm A A 称为二次型 f 的矩阵，二次型 f 称为对称矩阵 A \bm A A 的二次型。
合同 设 A \bm A A和 B \bm B B 是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C \bm C C ，使 B = C T A C \bm B=\bm C^\mathrm T\bm{AC} B=CTAC ，则称矩阵 A \bm A A与 B \bm B B 合同。
5.6 正定二次型
惯性定理 设二次型 f = x T A x f=\bm x^\mathrm T\bm A\bm x f=xTAx的秩为 r ，且有两个可逆变换 x = C y \bm x=\bm{Cy} x=Cy 及 x = P z \bm x=\bm{Pz} x=Pz使
f = ∑ i = 1 r k i y i 2 , k i ≠ 0 f=\sum_{i=1}^rk_iy_i^2,~~k_i\ne0 \\ f=i=1∑rkiyi2, ki=0
及
f = ∑ i = 1 r λ i z i 2 , λ i ≠ 0 f=\sum_{i=1}^r\lambda_iz_i^2,~~\lambda_i\ne0 \\ f=i=1∑rλizi2, λi=0
则 k 1 , ⋯ , k r k_1,\cdots,k_r k1,⋯,kr中正数的个数与 λ 1 , ⋯ , λ r \lambda_1,\cdots,\lambda_r λ1,⋯,λr中正数的个数相等。
正定二次型 设二次型 f ( x ) = x T A x f(\bm x)=\bm x^\mathrm T\bm A\bm x f(x)=xTAx ，如果对 ∀ x ≠ 0 \forall \bm x\ne\bm 0 ∀x=0 ，都有 f ( x ) > 0 f(\bm x)>0 f(x)>0，则称 f 为正定二次型，并称对称矩阵 A \bm A A是正定的；如果对 ∀ x ≠ 0 \forall \bm x\ne\bm 0 ∀x=0 ，都有 f ( x ) < 0 f(\bm x)<0 f(x)<0，则称 f 为负定二次型，并称对称矩阵 A \bm A A 是负定的。