Chapter4——矩阵特征值与特征向量和相似对角化

1. 特征值与特征向量

定义：

注意：只有方阵具有特征值与特征向量，不同特征值所对应的特征向量之间线性无关

如何理解特征值与特征向量？（重要）

形象的例子：如果把矩阵看作运动的话，那么

• 特征值就是运动的速度
• 特征向量是运动的方向

对于方阵而言，矩阵不会在维度上进行伸缩，所以矩阵的运动实际上只有两种：旋转和拉伸，最后运动的结果（矩阵的运动表现在乘以任意一个向量，列向量的方向和长度是矩阵运动的表现形式）就是这两种的合成。接下来讨论这两种具体的运动方式在矩阵的运算如何体现：

• 旋转与拉伸：通过矩阵相似对角化分解，可以得到：
  其中B为对角阵,的列向量是单位化的特征向量，并且互相正交。
  对角阵B决定了各个方向的拉伸大小，而P决定了旋转变化
  
• 特征值指明了拉伸大小；
• 特征向量指明了拉伸的方向。（特征向量都是一组组标准正交基）

几何意义：

特征多项式：用于求特征值

特征向量的求解：

方阵的迹与行列式：

2. 相似矩阵

矩阵相似关系的定义：

相似矩阵的性质：拥有相同的特征多项式和特征值

3. 矩阵对角化

可对角化定义：矩阵可相似于一个对角阵

矩阵可对角化充要条件：1. n阶矩阵有n个线性无关的特征向量

矩阵P为特征列向量组，对角阵的迹为n个特征值。

推论：若n阶矩阵A具有n个不同的特征值，则A可相似对角化。

矩阵可对角化充要条件：2. n阶矩阵每个拥有ni个线性无关的特征向量，其中ni是第i个特征值的重数

矩阵相似对角化的重要应用：求矩阵的幂

幂等式：若可相似对角化，设，则
上式可根据矩阵乘法的交换律，让和相乘。

例题：

4. 实对称矩阵的对角化

共轭矩阵：

易知：实矩阵等于他的共轭$

实对称矩阵的特征值和特征向量：对称矩阵

实对称矩阵的对角化：