java算法之N阶楼梯的走法

1. 前言

最近找工作笔试，碰到一个算法笔试题，现将其分析记录并拓展下。

题目：楼梯总共N阶，小明可以一次可以跨1步，2步，3步，请用递归求出小明总共有多少种跨法走完这个楼梯。

2. 回溯法

我自己在笔试中用的这种方法，

将设任意一个状态，三种情况我都尝试下，如果可以就继续沿着路径往下走，不行就回溯尝试的这一步。

//到达一个状态时，都先尝试走下所有的分支可能，然后再依次回退，这样就可以回溯遍历所有的可能了

       for (int i = 0; i < ways.length; i++) {

           tempSteps += ways[i];

           getSum(tempSteps);

           tempSteps -= ways[i];

       }

    

3. 动态规划

回来后网上搜索了下，类似斐波那契数列

* 走到第k阶, 往前只回退一步，只有三种走法：

     * a) 从k-1阶梯，步子大小为1

     * b) 从k-2阶梯，步子大小为2

     * c) 从k-3阶梯，步子大小为3

     * 所以自然第k阶的玩法就是：getSum2(n - 1) + getSum2(n - 2) + getSum2(n - 3)

4. 完整代码

记录了三种做法。

package backtracking;



import java.util.ArrayList;



/**

 * 笔试题：楼梯总共N阶，小明可以一次可以跨1步，2步，3步，请用递归求出小明总共有多少种跨法走完这个楼梯。

 *

 * @author shu jun

 * @date 2018-8-27 22:39

 */

public class StairsTest {

    //楼梯总数为N阶

    int starisNum = 5;

    //总共有1步，2步，3步这几种跨法

    int[] ways = {1, 2, 3};

   

    //统计总共有多少种跨法

    int count = 0;

    //记录每次的具体步数

    ArrayList list = new ArrayList();

   

    /**

     * 1. 笔试时用的方法，回溯法

     * @param tempSteps: 暂时走到第几个台阶了

     */

    void getSum(int tempSteps) {

       if (tempSteps > starisNum)

           return;

       //达到要求了，计数加一，并输出具体的步数

       if (tempSteps == starisNum) {

           count++;

           System.out.println(count + " 具体步法为：" + list);

           return;

       }

      

       //到达一个状态时，都先尝试走下所有的分支可能，然后再依次回退，这样就可以回溯遍历所有的可能了

       for (int i = 0; i < ways.length; i++) {

           list.add(ways[i]);

           tempSteps += ways[i];

           getSum(tempSteps);

           tempSteps -= ways[i];

           list.remove(list.size() - 1);

       }

    }

   

    /**

     * 2. 参考网上的方法：类似斐波那契数列的递归方法，应用的是动态规划的思想，一个状态可由前面的状态求出

     * 不过这种方式没法打印出具体的步法，只能是一个总的步数

     *

     * 估计面试官可能想要的是这个答案

     *

     * 走到第k阶, 往前只回退一步，只有三种走法：

     * a) 从k-1阶梯，步子大小为1

     * b) 从k-2阶梯，步子大小为2

     * c) 从k-3阶梯，步子大小为3

     * 所以自然第k阶的玩法就是：getSum2(n - 1) + getSum2(n - 2) + getSum2(n - 3)

     *

     * @param args: n 走到第n阶时可以有多少种走法

     */

    int getSum2(int n) {

       switch (n) {

       case 1:

           return 1;

       case 2:

           return 2;

       case 3:

           return 4;

       default:

           return getSum2(n - 1) + getSum2(n - 2) + getSum2(n - 3);

       }

    }

   

    /***

     * 3. 思想类似方法二

     * 既然这个可以看作经典的那个斐波那契数列的变形，那么自然也就有非递归的玩法了

     *

     * @param n

     * @return

     */

    int getSum3(int n) {

       switch (n) {

       case 1:

           return 1;

       case 2:

           return 2;

       case 3:

           return 4;

       default:

           int result = 0;

           //当然也可以kind数组也可以申请为n位，kind[n-1]就表示为n阶楼梯的走法，只是这么浪费空间而已

           int[] kind = {1, 2, 4};

           for (int i = 4; i <= n; i++) {

              result = kind[0] + kind[1] + kind[2];

              kind[0] = kind[1];

              kind[1] = kind[2];

              kind[2] = result;

           }

           return result;

       }

    }

   

    public static void main(String[] args) {

       StairsTest st = new StairsTest();

      

       //方法一：回溯法，递归

       st.getSum(0);

       System.out.println("a) 总共的步数：" + st.count);

      

       //方法二：动态规划，类似斐波那契数列，递归

       System.out.println("\nb) 总共的步数：" + st.getSum2(st.starisNum));

      

       //方法三：动态规划，类似斐波那契数列，非递归

       System.out.println("\nc) 总共的步数：" + st.getSum3(st.starisNum));

    }

}

最终程序执行结果如下：

1 具体步法为：[1, 1, 1, 1, 1]

2 具体步法为：[1, 1, 1, 2]

3 具体步法为：[1, 1, 2, 1]

4 具体步法为：[1, 1, 3]

5 具体步法为：[1, 2, 1, 1]

6 具体步法为：[1, 2, 2]

7 具体步法为：[1, 3, 1]

8 具体步法为：[2, 1, 1, 1]

9 具体步法为：[2, 1, 2]

10 具体步法为：[2, 2, 1]

11 具体步法为：[2, 3]

12 具体步法为：[3, 1, 1]

13 具体步法为：[3, 2]

a) 总共的步数：13

b) 总共的步数：13

c) 总共的步数：13

5. 参考链接

也说说有N阶楼梯每次可以选择下1阶、2阶、3阶一共有多少种下法的问题_hozplotzes_csdn