统计动力学笔记(二)频谱密度与线性随机系统的动态准确性(自留用)

频谱密度与线性随机系统的动态准确性

  • 1. 频谱密度
  • 2. 线性系统输出端的随机信号的频谱密度

1. 频谱密度

频谱密度是对相关函数 R ( t ) R(t) R(t)傅里叶变换
S ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − j ω τ d τ (1) S(\omega) = \int_{-\infty} ^\infty R( \tau) e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \tag{1} S(ω)=R(τ)eτdτ(1)显然,相关函数即为频谱密度的傅里叶逆变换:
R ( τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S ( ω ) e j ω τ d ω (2) R(\tau) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty S(\omega) e^{ j \omega \tau} {\rm d} \omega \tag{2} R(τ)=2π1S(ω)eτdω(2)替换 e − j ω τ = cos ⁡ ω τ − j sin ⁡ ω τ e^{- j \omega \tau} = \cos \omega \tau - j \sin \omega \tau eτ=cosωτjsinωτ,并注意到奇函数 sin ⁡ ω τ \sin \omega \tau sinωτ − ∞ -\infty + ∞ + \infty +的积分为0,而偶函数 cos ⁡ ω τ \cos \omega \tau cosωτ的积分对称,则式(1)可以化为:
S ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) cos ⁡ ω τ d τ − j ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) sin ⁡ ω τ d τ = 2 ∫ 0 ∞ R ( τ ) cos ⁡ ω τ d τ (3) S(\omega) = \int_{-\infty} ^\infty R( \tau) \cos \omega \tau {\rm d} \tau - j \int_{-\infty} ^\infty R( \tau) \sin \omega \tau {\rm d} \tau = 2\int_{0} ^\infty R( \tau) \cos \omega \tau {\rm d} \tau \tag{3} S(ω)=R(τ)cosωτdτjR(τ)sinωτdτ=20R(τ)cosωτdτ(3)由此可见,频谱密度是偶函数:
S ( − ω ) = 2 ∫ 0 ∞ R ( τ ) cos ⁡ ( − ω τ ) d τ = S ( ω ) , R ( τ ) = 1 π ∫ 0 ∞ S ( ω ) cos ⁡ ω τ d ω (4) S(-\omega) = 2\int_{0} ^\infty R( \tau) \cos (-\omega \tau) {\rm d} \tau = S(\omega), \\ R(\tau) = \frac{1}{\pi} \int_{0} ^\infty S( \omega) \cos \omega \tau {\rm d} \omega \tag{4} S(ω)=20R(τ)cos(ωτ)dτ=S(ω),R(τ)=π10S(ω)cosωτdω(4)进而均方差为:
x 2 ‾ = D x = R x ( 0 ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S ( ω ) e j ω τ d ω ∣ τ = 0 = 1 π ∫ 0 ∞ S ( ω ) d ω (5) \overline{x^2} = D_x = R_x (0) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty S(\omega) e^{ j \omega \tau} {\rm d} \omega \bigg\rvert_{\tau = 0} = \frac{1}{\pi} \int_{0} ^\infty S( \omega) {\rm d} \omega \tag{5} x2=Dx=Rx(0)=2π1S(ω)eτdω τ=0=π10S(ω)dω(5)在物理意义上, S ( ω ) S(\omega) S(ω)表示了不同频率 ω \omega ω下的功率分布,而其积分表示了平均功率

复习一下 R ( τ ) R(\tau) R(τ)的公式:
R ( τ ) = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T T x ( t ) x ( t + τ ) d t R(\tau) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T} ^T x(t) x(t + \tau) {\rm d} t R(τ)=Tlim2T1TTx(t)x(t+τ)dt代入定义式(1):
S ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R ( τ ) e − j ω τ d τ = S ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ e − j ω τ d τ lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T T x ( t ) x ( t + τ ) d t S(\omega) = \int_{-\infty} ^\infty R( \tau) e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau = S(\omega) = \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T} ^T x(t) x(t + \tau) {\rm d} t S(ω)=R(τ)eτdτ=S(ω)=eτdτTlim2T1TTx(t)x(t+τ)dt θ = t + τ \theta = t + \tau θ=t+τ,则 τ = θ − t , d τ = d θ \tau = \theta - t, {\rm d} \tau = {\rm d} \theta τ=θt,dτ=dθ,于是
S ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ e − j ω τ d τ lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T T x ( t ) x ( t + τ ) d t = ∫ − ∞ ∞ e − j ω θ e j ω t d θ lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T T x ( t ) x ( θ ) d t = ∫ − ∞ ∞ x ( θ ) e − j ω θ d θ lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∫ − T T x ( t ) e j ω t d t = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T [ ∫ − ∞ ∞ x ( θ ) e − j ω θ d θ ∫ − T T x ( t ) e j ω t d t ] = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T X ( j ω ) X ( − j ω ) \begin{aligned} S(\omega) &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T} ^T x(t) x(t + \tau) {\rm d} t \\ &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \theta} e^{ j \omega t} {\rm d} \theta \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T} ^T x(t) x(\theta) {\rm d} t \\ &= \int_{-\infty} ^\infty x(\theta) e^{- j \omega \theta} {\rm d} \theta \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T} ^T x(t) e^{ j \omega t} {\rm d} t \\ &= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \left[ \int_{-\infty} ^\infty x(\theta) e^{- j \omega \theta} {\rm d} \theta \int_{-T} ^T x(t) e^{ j \omega t} {\rm d} t \right] \\ &= \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} X( j \omega) X \left( -j\omega \right) \end{aligned} S(ω)=eτdτTlim2T1TTx(t)x(t+τ)dt=eθetdθTlim2T1TTx(t)x(θ)dt=x(θ)eθdθTlim2T1TTx(t)etdt=Tlim2T1[x(θ)eθdθTTx(t)etdt]=Tlim2T1X()X()即:
S ( ω ) = lim ⁡ T → ∞ 1 2 T ∣ X ( j ω ) ∣ 2 (6) S(\omega) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \left| X(j\omega) \right|^2 \tag{6} S(ω)=Tlim2T1X()2(6)

例:设相关函数 R ( τ ) = e − α ∣ τ ∣ R(\tau) = e^{- \alpha \lvert \tau \rvert} R(τ)=eατ,其中 α > 0 \alpha > 0 α>0。则
S x ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ e − α ∣ τ ∣ d τ = ∫ − ∞ 0 e α τ e − j ω τ d τ + ∫ 0 ∞ e − α τ e − j ω τ d τ = ∫ − ∞ 0 e ( α − j ω ) τ d τ + ∫ 0 ∞ e − ( α + j ω ) τ d τ = 1 α − j ω e α − j ω ∣ − ∞ 0 + − 1 α + j ω e α − j ω ∣ 0 ∞ = 1 α − j ω + 1 α + j ω = 2 α α 2 + ω 2 \begin{aligned} S_x (\omega) &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- \alpha \lvert \tau \rvert} {\rm d} \tau \\ &= \int_{-\infty} ^0 e^{\alpha \tau } e^{-j \omega \tau } {\rm d} \tau + \int_{0} ^\infty e^{-\alpha \tau } e^{-j \omega \tau } {\rm d} \tau \\ &= \int_{-\infty} ^0 e^{ \left( \alpha - j \omega \right) \tau } {\rm d} \tau + \int_{0} ^\infty e^{- \left( \alpha + j \omega \right) \tau } {\rm d} \tau \\ &= \frac{1}{\alpha - j \omega} e^{ \alpha - j \omega} \bigg\rvert _{-\infty} ^0 + \frac{-1}{\alpha + j \omega} e^{ \alpha - j \omega} \bigg\rvert _{0} ^\infty \\ &= \frac{1}{\alpha - j \omega} + \frac{1}{\alpha + j \omega} \\ &= \frac{2\alpha}{\alpha^2 + \omega^2} \end{aligned} Sx(ω)=eατdτ=0eατeτdτ+0eατeτdτ=0e(α)τdτ+0e(α+)τdτ=α1eα 0+α+1eα 0=α1+α+1=α2+ω22α

根据定义式(1),很显然可以得到互频谱密度的表达式:
S x u ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ R x u ( τ ) e − j ω τ d τ (7) S_{xu} (\omega) = \int_{-\infty} ^\infty R_{xu}( \tau) e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \tag{7} Sxu(ω)=Rxu(τ)eτdτ(7)
R x u ( τ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S x u ( ω ) e j ω τ d ω (8) R_{xu}(\tau) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty S_{xu}(\omega) e^{ j \omega \tau} {\rm d} \omega \tag{8} Rxu(τ)=2π1Sxu(ω)eτdω(8)

2. 线性系统输出端的随机信号的频谱密度

在统计动力学笔记(一)动态系统随机信号在时域中的变换(自留用)一文的公式(3)中给出了输出端 x x x的相关函数计算公式:
R x ( τ ) = ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) d λ ∫ − ∞ ∞ R u ( τ + λ − η ) K ( η ) d η R_x (\tau) = \int_{-\infty} ^\infty K(\lambda) {\rm d} \lambda \int_{-\infty} ^\infty R_u (\tau + \lambda - \eta) K(\eta) {\rm d} \eta Rx(τ)=K(λ)dλRu(τ+λη)K(η)dη则根据本文定义式(1),输出端 x x x的频谱密度为
S x ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ e − j ω τ R x ( τ ) d τ = ∫ − ∞ ∞ e − j ω τ d τ ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) d λ ∫ − ∞ ∞ R u ( τ + λ − η ) K ( η ) d η \begin{aligned} S_x(\omega) &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \tau} R_x( \tau) {\rm d} \tau \\ &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \int_{-\infty} ^\infty K(\lambda) {\rm d} \lambda \int_{-\infty} ^\infty R_u (\tau + \lambda - \eta) K(\eta) {\rm d} \eta \end{aligned} Sx(ω)=eτRx(τ)dτ=eτdτK(λ)dλRu(τ+λη)K(η)dη ξ = τ + λ − η \xi = \tau + \lambda - \eta ξ=τ+λη,则 d τ = d ξ {\rm d} \tau = {\rm d} \xi dτ=dξ,上式为
S x ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ e − j ω τ d τ ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) d λ ∫ − ∞ ∞ R u ( τ + λ − η ) K ( η ) d η = ∫ − ∞ ∞ e − j ω ξ e − j ω η e j ω λ d ξ ∫ − ∞ ∞ K ( λ ) d λ ∫ − ∞ ∞ R u ( ξ ) K ( η ) d η = ∫ − ∞ ∞ e − j ω η K ( η ) d η ⏟ W ( j ω ) ∫ − ∞ ∞ e j ω λ K ( λ ) d λ ⏟ W ( − j ω ) ∫ − ∞ ∞ e − j ω ξ R u ( ξ ) d ξ ⏟ S u ( ω ) = W ( j ω ) W ( − j ω ) S u ( ω ) = ∣ W ( j ω ) ∣ 2 S u ( ω ) \begin{aligned} S_x(\omega) &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \tau} {\rm d} \tau \int_{-\infty} ^\infty K(\lambda) {\rm d} \lambda \int_{-\infty} ^\infty R_u (\tau + \lambda - \eta) K(\eta) {\rm d} \eta \\ &= \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \xi} e^{- j \omega \eta} e^{ j \omega \lambda} {\rm d} \xi \int_{-\infty} ^\infty K(\lambda) {\rm d} \lambda \int_{-\infty} ^\infty R_u (\xi) K(\eta) {\rm d} \eta \\ &= \underbrace{ \int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \eta} K(\eta) {\rm d} \eta}_{W(j \omega)} \underbrace{ \int_{-\infty} ^\infty e^{ j \omega \lambda} K(\lambda) {\rm d} \lambda }_{W(-j \omega)} \underbrace{\int_{-\infty} ^\infty e^{- j \omega \xi} R_u (\xi) {\rm d} \xi}_{S_u (\omega)} \\ &= W(j \omega) W(-j \omega) S_u (\omega) \\ &= \big\lvert W ( j\omega) \big\rvert^2 S_u (\omega) \end{aligned} Sx(ω)=eτdτK(λ)dλRu(τ+λη)K(η)dη=eξeηejωλdξK(λ)dλRu(ξ)K(η)dη=W() eηK(η)dηW() ejωλK(λ)dλSu(ω) eξRu(ξ)dξ=W()W()Su(ω)= W() 2Su(ω)
S x ( ω ) = ∣ W ( j ω ) ∣ 2 S u ( ω ) (9) S_x(\omega) = \big\lvert W ( j\omega) \big\rvert^2 S_u (\omega) \tag{9} Sx(ω)= W() 2Su(ω)(9)同理可以推出互频谱密度
S x u ( ω ) = W ( j ω ) S u ( ω ) (10) S_{xu}(\omega) = W ( j\omega) S_u (\omega) \tag{10} Sxu(ω)=W()Su(ω)(10)
显然,对于强度 N 2 = 1 N^2=1 N2=1的白噪声来说,其 S u ( ω ) = 1 S_u (\omega) = 1 Su(ω)=1,则 S x u ( ω ) = W ( j ω ) , S x ( ω ) = ∣ W ( j ω ) ∣ 2 S_{xu}(\omega) = W(j \omega), S_x(\omega) = \big\lvert W ( j\omega) \big\rvert^2 Sxu(ω)=W(),Sx(ω)= W() 2,由此可见,可以在输入端加载强度为1的白噪声,通过测量输出端的频谱密度 S x ( ω ) S_x(\omega) Sx(ω),即可获得系统的传递函数 W ( j ω ) W(j \omega) W(),具有很强的应用价值。

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