线性代数拾遗（4）—— 非齐次线性方程组通解的结构

• 本文说明以下重要结论

  $n$ 元 $m$ 维非齐次线性方程组 ${A\text{A}A}_{m\times n}{x\text{x}x}_{n\times 1}={b\text{b}b}_{m\times 1}$ 的通解为 $k\xi \text{ξ}\xi +\eta \text{η}\eta$，其中

  1. $k\xi \text{kξ}k\xi =k_1{\xi \text{ξ}\xi }_1+k_2{\xi \text{ξ}\xi }_2+...+k_{n-r}{\xi \text{ξ}\xi }_{n-r}$ 是齐次线性方程组 $Ax\text{Ax}Ax=0\text{0}0$ 的通解
  2. $\eta \text{η}\eta$ 是非齐次线性方程组 $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 的一个特解

• 参考：非齐次线性方程组通解的结构如何理解？ - 破魔之箭的回答 - 知乎

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1. 有解的条件

• 当系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等时，即 $r(A\text{A}A)=r(A\text{A}A|b\text{b}b)$ 时，非齐次线性方程组 ${A\text{A}A}_{m\times n}{x\text{x}x}_{n\times 1}={b\text{b}b}_{m\times 1}$ 有解，具体而言

  1. $r(A\text{A}A)=r(A\text{A}A|b\text{b}b)=n$ 时，有唯一解
  2. $r(A\text{A}A)=r(A\text{A}A|b\text{b}b)<n$ 时，有无穷多解

  这意味着，为了保证有解，方程组中有效方程个数 $r$ 必须少于等于未知数个数 $n$。

• 注意到，可以通过以下两步变换得到同解方程组

  1. 通过初等行变换把增广矩阵 $[A\text{A}A|b\text{b}b]$ 化阶梯型得到同解方程组 ${B\text{B}B}_{m\times n}{x\text{x}x}_{n\times 1}={b\text{b}b}_{m\times 1}^{\prime }$
  2. 再取出其中非零的前 $r$ 行（保留有效方程组），得到同解方程组 ${B\text{B}B}_{r\times n}{x\text{x}x}_{n\times 1}={b\text{b}b}_{r\times 1}^{\prime }$

  注意 $r\le m$，当方程组有解时 $r\le n$ 也成立

2. 从代数角度考虑

• 当 $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 有解时，假设一个特解是 ${x\text{x}x}_0^{\prime }$

  1. 对于 $Ax\text{Ax}Ax=0\text{0}0$ 的任意特解 ${x\text{x}x}_0$，有和它唯一对应的 $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 的特解 $x_0\text{x0}{x}_0+{x_0\text{x0}{x}_0}^{\prime }$，因为
     $$A\text{A}A(x_0\text{x0}{x}_0+{x_0\text{x0}{x}_0}^{\prime })={Ax\text{Ax}Ax}_0+{Ax\text{Ax}Ax}_0^{\prime }=0\text{0}0+b\text{b}b=b\text{b}b$$
  2. 对于 $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 的任意特解 ${x\text{x}x}_0^{\prime \prime }$，有和它唯一对应的 $Ax\text{Ax}Ax=0\text{0}0$ 的特解 ${x_0\text{x0}{x}_0}^{\prime \prime }-{x_0\text{x0}{x}_0}^{\prime }$，因为
     $$A\text{A}A({x_0\text{x0}{x}_0}^{\prime \prime }-{x_0\text{x0}{x}_0}^{\prime })={Ax\text{Ax}Ax}_0^{\prime \prime }-{Ax\text{Ax}Ax}_0^{\prime }=b\text{b}b-b\text{b}b=0\text{0}0$$

• 这意味着

  1. $Ax\text{Ax}Ax=0\text{0}0$ 和 $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 解空间中的解向量是一一对应的，二者解空间大小一致
  2. $Ax\text{Ax}Ax=0\text{0}0$ 的任意解向量，只要沿着 $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 的任意特解 ${x\text{x}x}_0^{\prime }$ 的方向平移，就能得到 $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 解空间中的对应解向量（反之也成立）

  所以，$Ax\text{Ax}Ax=0\text{0}0$ 的解空间（通解 $k\xi \text{ξ}\xi$）只要沿着 $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 的任意特解（$\eta \text{η}\eta$）方向平移，即得到 $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 的解空间（通解 $k\xi \text{ξ}\xi +\eta \text{η}\eta$）

3. 从几何角度考虑

• 从几何角度看，矩阵代表对向量的一种空间变换。${A\text{A}A}_{m\times n}{x\text{x}x}_{n\times 1}={b\text{b}b}_{m\times 1}$，它的同解方程组是 ${B\text{B}B}_{r\times n}{x\text{x}x}_{n\times 1}={b\text{b}b}_{r\times 1}^{\prime }$（见第1节），本质是将 $n$ 维空间变换为 $r\le n$ 维空间，空间中的向量随着空间变换而变换（随着基向量变换而变换）

  1. $Ax\text{Ax}Ax=0\text{0}0$ 的解向量都变换为 $0\text{0}0$ 向量，也就是解空间被压缩到原点
  2. $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 的解向量都变换为向量 $b\text{b}b$，也就是解空间被压缩到 $b\text{b}b$ 点处

  因此 $Ax\text{Ax}Ax=0\text{0}0$ 的解空间（通解 $k\xi \text{ξ}\xi$）沿着 $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 的任意特解（$\eta \text{η}\eta$）方向平移，就能被 $A\text{A}A$ 空间变换后压缩到 $b\text{b}b$ 点处，即得 $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 的解空间（通解 $k\xi \text{ξ}\xi +\eta \text{η}\eta$）

• 从解空间性质看

  1. $Ax\text{Ax}Ax=0\text{0}0$ 的解空间是 $n$ 维空间中一个过原点的 $n-r$ 维子空间，并且此子空间是 $A\text{A}A$ 的行空间的正交补空间（$A\text{A}A$ 的每个行向量都和解空间正交）
  2. $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 的解空间是 $n$ 维空间中过其所有特解的 $n-r$ 维子空间，和 $Ax\text{Ax}Ax=0\text{0}0$ 的解空间平行

  对于 $m=3,r=1$ 的某个特殊情况，可以图示为
  
  图中显示了 $Ax\text{Ax}Ax=0\text{0}0$ 的特解 ${x\text{x}x}_0$ 沿着 $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 的特解 ${x\text{x}x}_0^{\prime }$ 平移成 $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 对应特解 ${x\text{x}x}_0+{x\text{x}x}_0^{\prime }$ 的情形。图中还显示了 $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 的另一个特解 ${x\text{x}x}_1$，将 $Ax\text{Ax}Ax=0\text{0}0$ 的通解 $k\xi \text{ξ}\xi$ 沿着 ${x\text{x}x}_1$ 平移同样能得到相同的解空间，只是两个解空间中一一对应的方式不同

• 最后举一个具体的例子，设 $A\text{A}A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right],b\text{b}b=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

  1. $A\text{A}A$ 的行空间可以看作 x 轴和 y 轴，因此 $Ax\text{Ax}Ax=0\text{0}0$ 的解空间作为过原点且和 xoy 平面正交的 $n-r=3-2=1$ 维空间，只能是 z 轴。形式化地将，$Ax\text{Ax}Ax=0\text{0}0$ 的通解为 $k\xi \text{ξ}\xi$，其中 $\xi \text{ξ}\xi =[0,0,1{]}^{\top }$，
  2. $Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 的两个特解分别为 $[1,2,0{]}^{\top }$ 和 $[1,2,1{]}^{\top }$，$Ax\text{Ax}Ax=b\text{b}b$ 的通解就是 z 轴沿 $[1,2,0{]}^{\top }$ 或 $[1,2,1{]}^{\top }$平移所得，可见二者是重合的。