凯利公式志在解决的问题-赌博游戏中的最佳仓位

凯利公式志在解决的问题-赌博游戏中的最佳仓位

一、 假设赌局1:你赢的概率是60%,输的概率是40%。赢时的净收益率是100%,输时的亏损率也是100%。也即:如果赢,那么你每赌1元可以赢得1元;如果输,则每赌1元将会输掉1元。赌局可以进行无限次,每次下的赌注由你自己任意定。

        问题:假设你的初始资金是100元,那么怎么样下注?即:每次下注金额占本金的百分之多少,才能使得长期收益最大?

      对于这个赌局,每次下注的期望收益是下注金额的60%*1-40%*1=20%,期望收益为正。也就是说这是一个对赌客占优的赌局,而且占的优势非常大。

      那么我们应该怎么样下注呢?

      如果不进行严密的思考,粗略的想象一下,我们会觉得既然我每次赌的期望收益是20%,那么为了实现长期的最大收益,我应该在每次赌博中尽量放入更多比例的本金。这个比例的最大值是100%。

      但是显然每一局赌博都放入100%的本金是不合理的,因为一旦哪一次赌博赌输了,那么所有的本金就会全部输光,再也不能参加下一局,只能黯然离场。而从长期来看,赌输一次这个事件必然发生,所以说长期来看必定破产。

    所以说这里就得出了一个结论:只要一个赌局存在一下子把本金全部输光的可能,哪怕这个可能非常的小,那么就永远不能满仓。

    因为长期来看,小概率事件必然发生,而且在现实生活中,小概率事件发生的实际概率要远远的大于它的理论概率。这就是金融学中的肥尾效应。

二、回到赌局1。

      既然每次下注100%是不合理的,那么99%怎么样?如果每次下注99%,不但可以保证永远不会破产,而且运气好的话也许能实现很大的收益。实际情况是不是这个样子呢?

      我们先不从理论上来分析这个问题,我们可以来做个实验。我们模拟这个赌局,并且每次下注99%,看看结果会怎么样。

    这个模拟实验非常的简单,用excel就能完成。请看下图:

        如上图:第一列表示局数,第二列为胜负。excel会按照60%的概率产生1,即:60%的概率净收益率为1;40%的概率产生-1,即:40%的概率净收益为-1。第三列为每局结束时赌客所有的资金。这个实验每次下注仓位是99%,初始本金是100,分别用黄色和绿色标出。

      大家从图中可以看出,在进行了10局之后, 10局中赢的局数为8,比60%的概率还要大,仅仅输了两次。但即使是这样,最后的资金也只剩下了2.46元,基本上算是输光了。

    当我把实验次数加大,变成1000次、2000次、3000次……的时候,结果可想而知了,到最后手中的资金基本上是趋向于0。

    既然99%也不行,那么我们再拿其他几个比例来试试看,看下图:

    从图中可以看出,当把仓位逐渐降低,从99%,变成90%,80%,70%,60%的时候,同样10局的结果就完全不一样了。从图中似乎可以看出随着仓位逐渐的变小,在10局之后的资金是逐渐变大的。

    大家看到这里,就会渐渐的发现这个赌局的问题并不是那么简单的。就算是赌客占优如此之大的赌局,也不是随随便便都能赢钱的。

三、  怎么下注才能使得长期收益最大呢?

    是否就像上图所显示的那样,比例越小越好呢?应该不是,因为当比例变成0的时候显然也不能赚钱。

    那么这个最优的比例到底是多少呢?这就是著名的凯利公式所要解决的问题!

    凯利公式介绍

    其中f为最优的下注比例,p为赢的概率,rw是赢时的净收益率,例如在赌局1中rw=1。rl是输时的净损失率,例如在赌局1中rl=1。(注意此处rl>0。)

    根据凯利公式,可以计算出在赌局1中的最有下注比例是20%。

    我们可以进行一下实验,加深对这个结论的理解。

    如图,我们分别将仓位设定为10%,15%,20%,30%,40%。他们对应的列数分别是D、E、F、G、H。

    当我把实验次数变成3000次的时候,如下图:

当我把实验次数变成5000次的时候,如下图:

      大家从两幅图中可以看到F列对应的结果最大,和其它列相比压根就不是一个数量级的。而F列对应的仓位比例正是20%。

      大家看到凯利公式的威力了吧。在上面的实验中,如果你不幸将比例选择为40%,也就是对应H列,那么在5000局赌博之后,你的本金虽然从100变成了22799985.75,收益巨大。但是和20%比例的结果相比,那真是相当于没赚钱。

      这就是知识的力量!

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最后更新:11-13 11:50

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