【泛函分析】压缩映射定理

定义

X X X 为距离空间, T : X → X T: X \rightarrow X T:XX 是一映射,若存在 0 ≤ λ < 1 0\leq \lambda<1 0λ<1,使得
d ( T x , T y ) ≤ λ d ( x , y ) , ∀ x , y ∈ X d(Tx,Ty)\leq \lambda d(x,y), \quad \forall x,y\in X d(Tx,Ty)λd(x,y),x,yX
则称 T T T 是压缩的

引理

压缩映射是连续的

x n → x x_{n} \rightarrow x xnx,则: T x n → T x Tx_{n}\rightarrow Tx TxnTx

证明:
d ( T x n , T x ) ≤ λ d ( x n , x ) → 0 d(Tx_{n}, Tx) \leq \lambda d(x_{n},x) \rightarrow 0 d(Txn,Tx)λd(xn,x)0

压缩映射定理

完备距离空间上的压缩映射存在唯一的不动点

证明:

X X X 为任意完备距离空间, T T T X X X 上的压缩映射. 任取 x 0 ∈ X x_{0} \in X x0X,下面证明数列 { x n } \{x_{n}\} {xn} :
x n = T x n − 1 x_{n} = T x_{n-1} xn=Txn1
的极限 x = lim ⁡ n → ∞ x n x = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n} x=nlimxn 存在,且为不动点

(1) 首先证明 { x n } \{x_{n}\} {xn} 是 Cauchy 序列:
d ( x n + 1 , x n ) = d ( T x n , T x n − 1 ) ≤ λ d ( x n , x n − 1 ) d(x_{n+1},x_{n}) = d(Tx_{n},Tx_{n-1})\leq \lambda d(x_{n},x_{n-1}) d(xn+1,xn)=d(Txn,Txn1)λd(xn,xn1)
进而
d ( x n + 1 , x n ) ≤ λ n d ( x 1 , x 0 ) d(x_{n+1},x_{n})\leq \lambda^{n}d(x_{1},x_{0}) d(xn+1,xn)λnd(x1,x0)
对于任何正整数 n n n p p p
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因此对于 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon>0 ϵ>0 ∃ N \exists N N,使得当 n > N n>N n>N 时,对 ∀ p \forall p p 满足:
∣ d ( x n + p , x n ) ∣ ≤ ϵ |d(x_{n+p},x_{n})|\leq \epsilon d(xn+p,xn)ϵ

(2) 因为空间 X X X 是完备的,因此 { x n } \{x_{n}\} {xn} 收敛

(3) 进而 x = lim ⁡ n → ∞ x n = lim ⁡ n → ∞ T x n − 1 = T lim ⁡ n → ∞ x n − 1 = T x x=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n} = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} Tx_{n-1} = T \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n-1} = Tx x=nlimxn=nlimTxn1=Tnlimxn1=Tx

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