【泛函分析】压缩映射定理

定义

设 $X$ 为距离空间，$T:X\to X$ 是一映射，若存在$0\le \lambda <1$，使得
$$d(Tx,Ty)\le \lambda d(x,y),\forall x,y\in X$$
则称 $T$ 是压缩的

引理

压缩映射是连续的

若 $x_n\to x$，则：$T{x}_n\to Tx$

证明：
$$d(T{x}_n,Tx)\le \lambda d(x_n,x)\to 0$$

压缩映射定理

完备距离空间上的压缩映射存在唯一的不动点

证明：

设 $X$ 为任意完备距离空间，$T$ 是 $X$ 上的压缩映射. 任取 $x_0\in X$，下面证明数列 $\{x_n\}$ :
$$x_n=T{x}_{n-1}$$
的极限 $x=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 存在，且为不动点

(1) 首先证明 $\{x_n\}$ 是 Cauchy 序列：
$$d(x_{n+1},x_n)=d(T{x}_n,T{x}_{n-1})\le \lambda d(x_n,x_{n-1})$$
进而
$$d(x_{n+1},x_n)\le {\lambda }^{n}d(x_1,x_0)$$
对于任何正整数 $n$ 和 $p$ ：
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因此对于 $\forall ϵ>0$，$\exists N$，使得当 $n>N$ 时，对 $\forall p$ 满足：
$$|d(x_{n+p},x_n)|\le ϵ$$

(2) 因为空间 $X$ 是完备的，因此 $\{x_n\}$ 收敛

(3) 进而 $x=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }T{x}_{n-1}=T\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{n-1}=Tx$