MIT线性代数的总整理

MIT线性代数的总整理

整个线性代数总的来说,可以把线性代数的内容分为几个部分:
1)第一部分:线性代数的基本定理,表明四个基本子空间之间的关系,重点是研究维数;(1到13讲)
2)第二部分:重点是在已知维数的情况下研究它们的正交性;(14到17讲)
3)第三部分:行列式的提出以及基本性质(18讲到20讲)
4)第四部分:特征值与特征向量的定义及应用(21讲到24讲)
5)第五部分:特征值与特征向量、行列式、正交的综合应用(第26讲到)


第一讲:方程组的几何解释

    1.对一个方程组行形式,列形式。

    2.矩阵与向量相乘的方法(左行右列)


第二讲:矩阵消元

   1.消元法(成功、失败)

   2.消元矩阵(左行右列的真正意义


第三讲 矩阵的乘法和逆矩阵(非奇异矩阵)

     1.矩阵乘法(5种形式)

     2.矩阵的逆(判定(3种形式),求解逆矩阵)


第四讲 矩阵ALU分解

     1. A=LU A=LDU分解

    2. Ax=b的运算复杂度 


第五讲  转置-置换-向量空间R

     1. 矩阵的置换(3个注意点

     2. 矩阵的转置(我们把转置后等于自己本身的矩阵称之为对称矩阵

     3. 向量空间和子空间(向量空间(能够进行加法和数乘运算,必须能够进行线性组合,对加法和数乘运算封闭。),子空间(属于母空间,但自身又构成向量空间))


第六讲 列空间和零空间

      1. 列向量空间(Ax=b,此时空间的维度)

      2.零向量空间(Ax=0,此时空间的维度)


第七讲 求解Ax=0主变量特解

    1. Ax=0 在空间上的表示,以及次方程变成Ux=0的时候的求解其零空间的方法;
    2.Ax=0变成Ux=0时,此时Ax=0零空间的求解方法零空间N=[ I F ]

第八讲 求解Ax=b:可解性和解的结构
   1.Ax=b的可解性(有解和无解)
    2. Ax=b解的结构 (特解、通解)
    3.  rAx = b的解的关系
(矩阵A 为m×n 的矩阵,Ax=b 的解的情况
r=m=n R=I 有唯一解b 是A 列向量的线性组合
r=n r=m r 则有0 解
)

第九讲 线性相关性、基、维数
    1.线性相关与线性无关的定义。
    2. 空间向量“张成”的空间,基与维数。

 第十讲 四个基本子空间

 1.四种空间的定义和维度。
 2.四种空间的基向量(由哪些向量张成的空间)。

第十一讲 矩阵空间、秩1空间和小世界图
     1. 矩阵空间与微分方程

     2.秩1矩阵与其组成的向量空间

     3.小世界图


第十二讲 图与网络(应用)

  • 将电势记为e,则在引入电势的第一步中,有e=Ax;
  • 电势差导致电流产生,y=Ce;(电流y 等于电势差的常数倍,欧姆定律)
  • 电流满足基尔霍夫定律方程,(A^T)y=0;(基尔霍夫电流定律,在没有外部电源电压的影响下f设为0)

上述三式是在无电源情况下的方程。

1.电源可以通过:在边上加电池(电压源),或在节点上加外部电流 两种方式接入。

2.如果在边上加电池,会体现在e=Ax中;如果在节点上加电流,会体现在(A^T)y=f中,f向量就是外部电流。

3.将以上三个等式连起来得到(A^T)CAx=f。另外,最后一个方程是一个平衡方程,还需要注意的是,方程仅描述平衡状态,方程并不考虑时间。最后,(A^T)A是一个对称矩阵。


第十三讲 总结1


第十四讲 正交空间与子空间(Ax=b)

1. 正交向量和正交补的定义。
2. 求解Ax=b中含有坏数据的方法以及两侧乘以A转置的注意事项。

第十五讲 子空间的投影和Ax=b

1.投影矩阵及其应用;

2.解决Ax=b无解时,最优解的问题;

3.最小二乘法。


第十六讲投影矩阵(Ax=b)和最小二乘法

1.记住图:

MIT线性代数的总整理_第1张图片


2.最小二乘法求解的意义。 
3. ATA 可逆的条件和正交向量组。


第十七讲正交矩阵和Gram-Schmidt正交化


1.标准正交基与正交矩阵; 
2.Gram-Schmidt正交标准化; 
3.QR分解(与LU分解的区别)。


第十八讲 行列式的性质

1.三大基本性质

2.7大推导的性质


第十九讲 行列式公式和代数余子式

1.行列式展开的正负号; 
2.计算行列式的三种方法; 
3.代数余子式求解时的正负号。

第二十讲 克拉默法则、逆矩阵、体积

1. 利用克拉默法则求矩阵的逆;

A1=1detACTMIT线性代数的总整理_第2张图片

第二十一讲 特征值和特征向量

1.特征向量和特征值的由来; 
2.3个例子得出的结论(对称矩阵、旋转矩阵、三角矩阵的特征值与特征向量的特点)。


第二十二讲 对角化和A的幂

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第二十三讲 微分方程和 eAt


第二十四讲 马尔可夫矩阵、傅立叶级数

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第二十五讲 复习2


第二十六讲 对称矩阵及正定矩阵

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第二十七讲  复数矩阵和快速傅里叶变换

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第二十八讲 正定矩阵和最小值

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第二十九讲 相似矩阵和若尔当行形


第三十讲 奇异值分解

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第三十一讲 线性变换及对应矩阵

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第三十二讲 基变换与压缩感知

  1. 图像压缩(定义,小波,傅立叶);
  2. 基变换

第三十三讲 单元测试与总结


第三十四将 左右逆和伪逆

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第三十五讲 总结



线性代数学习完毕。









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