2023杭电暑假多校10 题解 3 4 12 | JorbanS

3-Many Topological Problems

题意 问能构造多少序列 $\{a{\}}_{i=1}^n$ 每个对应 $n$ 个节点的树，使得 $a_{p_i}<a_i\le a_{p_i}+k$，其中 $p_i$ 为 $i$ 的父节点

题解 对于每一种序列，其构造树的方式都是独立的，即序列的序号和权值两者并无关系，即可分开计算，最后乘法原理。

对于序列的序号来说，没有任何限制，即可任意搭配，排列组合可以构成 $n!$ 种序列

对于序列的权值来说，有 $a_{p_i}<a_i\le a_{p_i}+k$，故按照点权从小到大插入点 $i(i>1)$，有 $min(i-1,k)$ 种方案，则一共 $n!{\prod }_{i=2}^{n}min(i-1,k)$ 种方案

• 当 $n=k$ 时，$res=n!(n-1)!$
• 当 $n\ne k$ 时，$res=n!k!k^{n-k-1}$

对于阶乘可以先预处理

inline int qpow(int a, int b) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = (ll)res * a % mod;
        a = (ll)a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int solve() {
    int n, k; cin >> n >> k;
    int res = 0;
    if (n == k) res = (ll)fac[n] * fac[n - 1] % mod;
    else res = (ll)fac[n] * fac[k] % mod * qpow(k, n - k - 1) % mod;
    return res;
}

int main() {
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i ++) fac[i] = (ll)fac[i - 1] * i % mod;
    FastIO
    Cases
    cout << solve() << endl;
    return 0;
}

4-Do You Like Interactive Problems?

题意 有一个未知数 $x,x\in [1,n]$，每次随机询问一个数 $y,y\in [1,n]$，会被告知 $y$ 与 $x$ 的大小关系（$<,>,=$），问知道 $x$ 的询问次数的期望值

题解 可以打表，大概确定

// 打表 code
double solve(int n, int x) {
    srand((int)time(0));
    ll res = 0;
    for (int i = 0; i < N; i ++) {
        set<int> s;
        int cnt = 0;
        while (true) {
            int y = rand() % n + 1;
            s.insert(y);
            if (s.count(x)) break;
            if (x == 1) {
                if (s.count(2)) break;
            } else if (x == n) {
                if (s.count(n - 1)) break;
            } else {
                if (s.count(x - 1) && s.count(x + 1)) break;
            }
            cnt ++;
        }
        res += cnt;
    }
    return (double)res / N;
}

打表结果

	1	2	3	4	5	6	…	17	18	…	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
50	23.042	32.135	32.063	33.659	31.525	31.217	…	32.559	33.496	…	32.194	33.28	23.592
51	24.631	33.873	33.5	31.252	31.252	31.494	…	33.697	33.776	…	34.81	32.896	31.802	25.459
56	27.261	37.371	36.889	37.047	37.343	38.375	…	36.585	35.798	…	37.205	36.463	36.333	35.488	36.48	37.561	36.833	34.481	26.002
57	27.999	38.345	38.648	37.54	36.678	37.229	…	36.502	35.608	…	36.755	35.884	36.235	35.752	36.576	36.447	37.459	38.021	37.233	27.147
58	29.613	38.708	39.247	38.129	37.209	36.357	…	39.021	37.833	…	36.68	37.998	36.402	36.402	36.853	36.468	37.412	36.69	37.718	38.254	29.669
59	27.141	37.798	37.474	37.945	38.964	38.895	…	40.325	39.722	…	37.705	38.908	39.344	36.964	38.409	38.084	37.215	36.896	36.533	36.634	37.857	29.267
60	27.359	37.461	38.493	38.462	37.858	38.267	…	39.446	38.353	…	40.698	39.424	38.949	40.58	43.623	39.892	38.098	38.064	39.465	40.036	40.409	40.225	28.492

特判 $n=1$ 时，答案为 $0$

• $x=1$ 或 $x=n$ 时，概率为 $\frac{2}{n}$，期望为 $\frac{1}{\frac{2}{n}}=\frac{n}{2}$
• $x\in [2,n-1]$ 时，要询问到点 $x$ 或与其相邻的两个点，总期望为 $E_1=\frac{1}{n}\cdot 0+\frac{2}{n}\cdot \frac{n}{2}+\frac{n-3}{n}\cdot E_1+1$ 解得 $E_1=\frac{2n}{3}$
  • 询问到了点 $x$ 或与其相邻的两个点，概率为 $\frac{1}{n}$，步数为 $0$
  • 只询问过了其中一个与 $x$ 相邻的点，设期望为 $E_2$，则 $E_2=\frac{2}{n}\cdot 0+\frac{n-2}{n}\cdot E_2+1$ 解得 $E_2=\frac{n}{2}$
  • 没问到任何一个与 $x$ 相邻的点，重新进入该循环，概率为 $\frac{n-3}{n}$，步数为 $E_1$

综上，总期望为 $E=\frac{2}{n}\cdot \frac{n}{2}+\frac{n-2}{n}\cdot \frac{2n}{3}=\frac{2n-1}{3}$

const int mod = 998244353;
int inv3;

int qpow(int a, int b) {
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) res = (ll)res * a % mod;
        a = (ll)a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int inv(int x) { return qpow(x, mod - 2); }

int solve() {
    int n; cin >> n;
    if (n == 1) return 0;
    return (ll)(n * 2 - 1) * inv(3) % mod;
}

int main() {
    inv3 = inv(3);
    FastIO
    Cases
    cout << solve() << endl;
    return 0;
}

12-Equalize the Array

题意 每次可以将数列里出现最多的数的所有这些数加一，求最终所有数能变成一样吗

题解 只要保证最小的数的数目为第一大即可（可以并列第一）

string solve() {
    int n; cin >> n;
    map<int, int> mp;
    set<int> st;
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        int x; cin >> x;
        st.insert(x);
        mp[x] ++;
    }
    int cnt = mp[*s.begin()];
    for (auto i : st)
        if (mp[i] > cnt)
            return no;
    return yes;
}