出场人物介绍
小美：小学4年级学生，参加了学校的编程兴趣小组，已经了解了Python语言的基本语法，能够看懂一些简单的程序。她做事风风火火，对所有的事情都很好奇，喜欢打破砂锅问到底，是一个叫人又爱又恨的小丫头。
阿福：一个酷爱编程的8年级男生。大家都说他长得像国宝大熊猫，动作缓慢，憨态可掬。他做事情确实够慢的，连说话也慢条斯理，可是他一点也不担心，他常常说：“慢就是快，只要坚持下去，蜗牛也能爬上金字塔。”
古老师：虽然年近不惑，但依然对生活充满热情。“爱生活爱运动”是他的人生信条，和孩子们一起编程是他最大的乐趣。他神出鬼没，总是在孩子们最需要帮助的时候出现。当然，你也不能动不动就找古老师，因为他很忙，非常非常忙。所以，遇到问题还是自己先思考吧。
算法进化历程之丑陋数
小美：上次古老师教给我们以空间换时间的方法真是巧妙，用它来解题可以提高不少效率呢。
阿福：是的，以空间换时间换时间是一种常用的技巧，在很多地方都有用到。今天这里有一道数学题目，你看看会不会做？
题目1：
丑陋数。丑陋数是指质因数只包含2，3，5的自然数，例如前十个丑陋数依次为：1, 2, 3, 4, 5,
6, 8, 9, 10, 12。
给定一个自然数n (n <= 1500)，请你求出对应的第n个丑陋数。
函数功能：丑陋数是指质因数只包含2，3，5的自然数，输出第n个丑陋数。
函数名：ugly_number(n:int)-> int
参数表：n-- 一个自然数。
返回值：第n个丑陋数。
示例1：n=2，则返回2;
示例2：n=7，则返回8;
示例3：n=11，则返回15。
小美：丑陋数？这名字不好听，不过题目倒不难，我用最简单的枚举算法就能解决它。
代码1：
def ugly_number(n:int) -> int:
s = 1
i = 2
while s < n:
num = i
for e in [2, 3, 5]:
while num % e == 0:
num //= e
if num == 1: #i是丑陋数
s += 1
i += 1
return i - 1 #注意当s==n时，i还自增了一次
阿福：小美，别老是用这么简单粗暴的方法好不好，以时间换空间只是挂在嘴边的一句话而已吗？
小美：哦，不好意思，心又急了。这里确实好像可以先建一个丑陋数表，因为每个丑陋数都是由比它小的丑陋数乘以2或3或5得到，可以利用已经求得的丑陋数表来判断一个数是否为丑陋数。
代码2：
def ugly_number_2(n:int) -> int:
lib = [1] #丑陋数表
s = 1
i = 2
while s < n:
if ((i % 2 == 0 and i // 2 inlib) or
(i % 3 == 0 and i // 3 in lib) or
(i % 5 == 0 and i // 5 in lib)):
s += 1
lib.append(i)
i += 1
return i - 1 #或lib[n-1]
阿福：这还差不多，但是判断某个数是否在丑陋数列表中的效率并不高，能不能改用其他的数据结构来存储丑陋数表？
小美：在列表中查找元素默认是用顺序查找算法，效率确实不高。但是改用什么数据结构好呢？
阿福：查找速度快的有哪些数据结构？
小美：集合和字典都很快。对了，我可以用集合来存储丑陋数表。
代码3：
def ugly_number_3(n:int) -> int:
lib = {1} #丑陋数表
s = 1
i = 2
while s < n:
if ((i % 2 == 0 and i // 2 in lib) or
(i % 3 == 0 and i // 3 in lib) or
(i % 5 == 0 and i // 5 in lib)):
s += 1
lib.add(i)
i += 1
return i – 1
古老师：挺好！阿福指导有方，小美一点就通，都挺好！
阿福：老师过奖了，这也不是什么难题。
古老师：题目虽然不难，但是你们追求算法效率的精神是难能可贵的，值得表扬！其实除了使用集合存储数据来突破算法2的瓶颈，我们还有更好的方法，那就是根本不去判断某个数是否已经存在于丑陋数列表中。
小美：不使用成员运算符in？
古老师：没错。我问你，为什么要符判断某个数是否在丑陋数列表中？
小美：为了避免将相同的整数重复增加到列表中。
古老师：回答正确！如果我们能保证增加到列表中的元素值是递增的，是否还需要作此判断？
小美：那就不需要了。但是怎样做才能保证增加到列表中的元素值是递增的呢？
阿福：可以在列表元素值的2,3,5倍值中取最小值增加到列表中。
古老师：好想法！那具体该怎么做呢？
阿福：我们用列表lib来存储丑陋数，设lib[0]=1，然后设置3个指针变量a,b,c，分别用来计算某几个元素的2,3,5倍值，然后从中取最小值增加到列表中。若最小值是lib[a] * 2，则令a增一；若最小值是lib[b] * 3，则令b增一；若最小值是lib[c] * 5，则令c增一。这样既可以确保每次增加到列表中的值是当前最小丑陋数，又无需遍历列表来判断某个数是否已经存在于丑陋数列表中。
古老师：没错，这种记录各个子问题的解，并利用子问题的解来解决总问题的方法就是传说中的动态规划。阿福，既然你已经有思路了，就把代码写出来吧。
阿福：好的！
代码4：
def ugly_number_4(n:int) -> int:
lib = [1] #丑陋数表
a, b, c = 0, 0, 0#a,b,c分别表示某元素即将乘以其2,3,5倍
for i in range(n):
lib.append(min(lib[a]*2, lib[b]*3,lib[c]*5))
if lib[-1] == lib[a] * 2:
a += 1
if lib[-1] == lib[b] * 3:
b += 1
if lib[-1] == lib[c] * 5:
c += 1
return lib[n-1]
小美：动态规划，其实代码也挺简洁呢，没想到效率这么高！
古老师：没错，动态规划也是以空间换时间的简单策略，今后我们还要经常使用它来高效解决一些最优解问题。今天就到这，布置一道练习题，下次再见咯。
题目2：
学校为1000名新生每人分配了一个序号，序号从1开始递增到1000。
小明的序号是2，他想设置一个微信群，把序号是自己的3倍和8倍的同学（即6号和16号）拉进群里。之后每个群友都可以把序号是自己的3倍和8倍的同学拉进群里。根据题目描述，编写定义函数判断序号为x的同学能否加入微信群。
描述：判断序号为x的同学能否加入微信群
函数名：defteammate(e:int, x:int)->bool
参数表：e -- 已知序号为e的同学可以加入微信群；
x --判断序号为x的同学能否加入微信群。
返回值：若序号为x的同学可以入群返回True，否则返回False。
示例：当e=2，x=18时，返回True；当e=2，x=24时，返回False。
彩蛋：
小美：这个题目看起来和求丑陋数很相似，但我觉得最简单的写法是递归。
阿福：是吗？那写出来瞧瞧。
代码5：
def teammate(e:int, x:int)->bool: #使用递归算法求解
if e > x:
return False
elif e == x:
return True
else:
return teammate(3*e, x) orteammate(8*e, x)
阿福：确实很不错！递归算法的代码简明易懂，但也有效率低下的缺点，我们通常用迭代的方法来代替递归，以提高效率。你能把代码5改成迭代的形式吗？
小美：迭代算法？好像有点难，让我试试看。
代码6：
def teammate6(e:int, x:int)->bool:
while x > e:
if x % 3 == 0:
x //= 3
elif x % 8 == 0:
x //= 8
else:
break
return x == e
阿福：漂亮！迭代和递归的思考方向刚好相反，迭代是自底向上，递归是自顶向下。你的代码充分体现了迭代算法的特征，效率很高。除了使用迭代，我们还可以用递推的方法来代替递归算法。你能把代码5改成递推的形式吗？
小美：递推？那首先要知道递推式才行，可这道题目的递推式太难了，我写不出来。
阿福：没错，有些递推式表达起来确实比较麻烦。给你点提示，求丑陋数表的算法4其实采用的就是递推方法，你可以模仿它。
小美：那倒是，有可以模仿的对象就好办了。
代码7：
def teammate7(e:int, x:int)->bool:
s= [e]
a= b = 0
whiles[-1] < x:
s.append(min(s[a]*3, s[b]*8))
if s[-1] == s[a] * 3:
a += 1
if s[-1] == s[b] * 8:
b += 1
return s[-1] ==x
阿福：不错，一点就通！其实除了双指针，这道题目也可以使用队列来解决，我把代码写给你看一下。
代码8：
def teammate8(e:int,x:int)->bool:
s = [e]
head, rear = 0, 1
while head < rear:
if s[head] * 3 <= x and s[head] * 3not in s:
s.append(s[head] * 3)
rear += 1
if s[head] * 8 <= x and s[head] * 8not in s:
s.append(s[head] * 8)
rear += 1
head += 1
return x in s
补充：除了上述解法，网友“毛毛”还提供了很漂亮的枚举算法，代码如下：
代码9：
def teammate9(e:int, x:int)->bool: #使用枚举算法求解
for i in range(int(math.log(x))+2) :
for j in range(int(math.log10(x))+2) :
if (3**i)*(8**j)*e == x:
return True
return False