DPLL 算法思想之单子句规则

前言

DPLL算法（Davis-Putnam-Logemann-Loveland算法）是一种用于求解布尔可满足性问题（SAT问题）的经典算法。它是基于回溯搜索的思想，并使用了一些启发式规则来优化搜索过程，其中单子句规则是DPLL算法中的一种重要的处理策略。

实战

发现单子句： 首先，DPLL算法会检查CNF公式中是否存在单子句，即只包含一个文字的子句。如果存在这样的单子句，就可以确定该文字的赋值，以便满足这个子句。

应用单子句规则： 如果发现了一个单子句，那么算法会应用单子句规则。假设单子句是 L，它表示一个文字。根据单子句规则，L必须取真值，因此我们将 L 设置为真。

删除相关子句： 当确定了一个文字的赋值后，我们可以删除CNF公式中包含该文字的所有子句。这是因为，根据赋值，这些子句已经满足了条件，不再需要考虑。这个步骤有助于简化问题，缩小搜索空间。

递归求解： 接下来，我们继续使用DPLL算法来解决经过简化的CNF公式。这可能会再次找到单子句，然后再次应用单子句规则，进一步化简问题。这个过程可以递归地重复，直到找到一个满足整个CNF公式的赋值或确定公式不可满足。

总之，单子句规则是DPLL算法中的一个关键步骤，通过确定单子句的赋值，可以快速地化简CNF公式，并减少搜索空间。这样，算法能够更有效地找到问题的解或确定问题的不可满足性。在实际求解过程中，DPLL算法还会与其他优化策略一起使用，以提高效率。

举个简单的例子吧

假设我们有以下CNF公式：
F = (x1 ∨ ¬x2) ∧ (¬x1 ∨ x4) ∧ (x2 ∨ ¬x3) ∧ (x4)

那么 x4 作为一个单子句，就必须是 true ，那么 (¬x1 ∨ x4)也一定是 true
上面的式子可以优化为 F = (x1 ∨ ¬x2) ∧ (x2 ∨ ¬x3)