PCA-Statistics is the new sexy!!!

• 一切随缘吧，感觉这篇PCA，大家不一定看得进去；前天的脚本命名里说到佛度有缘人，那就看看有没有同样感兴趣的有缘人吧。
• 把基于基础函数的PCA放在文章里了，希望你喜欢。

理解PCA

PCA是为了更好地展示多维数据，通过线性转化，展示保留最多信息的主成分；将样本尽可能地分散地展示在坐标轴中达到可视化的目的；

• PCA的理论假设是：方差越大，信息量越大；
• 拿生信数据来说，大概率上，我们是要看数据的分组情况，所以要在坐标轴上表示的point是样本，舍掉的是基因层面的component，即n个基因获得n个component，依据方差最大化，取前k(0
• 本质上计算出n个特征向量，给予矩阵n个移动方向，最后保存了k个移动后的结果；

PCA步骤：

1）数据为m行n列的原始矩阵（sample为行，gene为列）
2）矩阵X每一个元素减去该列的均值（中心化）
目的是使所有维度的偏移都是以0为基础的（我们必须对数据中individual（sample）和observations（gene）有区分和了解）
3）求出协方差矩阵
协方差矩阵为对称矩阵，对角线为每行方差，其他元素分别为不同行的协方差，协方差表示的是各行元素之间的线性相关性；
4）目的是协方差矩阵中除对角线外的元素为0，即实现协方差矩阵对角化；
协方差矩阵为可对角化矩阵，对角化后的矩阵中，对角线上的元素保持不变，但对角线外的元素为0；这样便实现了使各行元素之间无相关性；对协方差矩阵进行特征值分解即可获得P；

image.png

5）将P按特征值进行排序，因为Y=PX，所以，中心化后的矩阵（转置）与特征向量矩阵（转置）乘积后得到新的样本矩阵，取前两行即PC1和PC2；

这里把PCA的过程用我理解的基础函数，做了包装，大家试着理解一下吧：

rm(list=ls())
######数据集可用于测试PCA
library("FactoMineR")
library("factoextra")
data("decathlon2")
decathlon2.active <- decathlon2[1:23, 1:10]
decathlon2.active

pca_base<-function(data,x=1,y=2){
  center_d<-scale(data,center=TRUE,scale=FALSE)
  cov_deca<-cov(center_d)
  deca_rotation<-eigen(cov_deca)
  PC<- (t(deca_rotation$vectors)%*%t(center_d))[x:y,]
  return(PC)
}
pca_base(data = decathlon2.active)

我们汲汲以求的PCA其实早有对统计学烂熟于心的人做了R包，不得不说，数学才是王道啊！！！

对比下在R的现成的PCA功能的结果

• FactoMineR和factoextra配合做PCA和可视化；
• prcomp（stats base级别）和autoplot配合做PCA和可视化；

######prcomp为stats自带的PCA函数
deca_re<-prcomp(decathlon2.active)
#####rotation-包含特征向量的矩阵
deca_re$rotation[, 1]
#####x-如果retx参数设为TRUE，则返回rotated矩阵（中心化（scaled，如果有设定）矩阵乘以rotation矩阵）的结果；cov（x）为协方差矩阵；
deca_re$x
#####ggfortify使ggplot2功能更加丰富，使autoplot能够处理prcomp的结果
library(ggfortify)
autoplot(prcomp(decathlon2.active),label=TRUE,loadings=TRUE)
res<-PCA(X = decathlon2.active, scale.unit = FALSE, ncp = 5, graph = FALSE)
res$ind$coord
#####res调出对PCA函数结果的更详尽说明
res
**Results for the Principal Component Analysis (PCA)**
The analysis was performed on 23 individuals, described by 10 variables
*The results are available in the following objects:

   name               description                          
1  "$eig"             "eigenvalues"                        
2  "$var"             "results for the variables"          
3  "$var$coord"       "coord. for the variables"           
4  "$var$cor"         "correlations variables - dimensions"
5  "$var$cos2"        "cos2 for the variables"             
6  "$var$contrib"     "contributions of the variables"     
7  "$ind"             "results for the individuals"        
8  "$ind$coord"       "coord. for the individuals"         
9  "$ind$cos2"        "cos2 for the individuals"           
10 "$ind$contrib"     "contributions of the individuals"   
11 "$call"            "summary statistics"                 
12 "$call$centre"     "mean of the variables"              
13 "$call$ecart.type" "standard error of the variables"    
14 "$call$row.w"      "weights for the individuals"        
15 "$call$col.w"      "weights for the variables"
######fviz_pca_ind对individual绘图，fviz_pca_var对variable绘图
fviz_pca_ind(res)
#####对coord处理后获得特征向量，与prcomp中的rotation一致
loadings<-sweep(res$var$coord,2,sqrt(res$eig[1:5,1]),FUN="/")
loadings

PCA

看着跟前面的图坐标位置哪儿哪儿不一样，后面再用$x画图后，看到是坐标比例的差异，再对比发现，与上图是某种镜像的关系，相对位置其实是一样的：

prcomp

Rplot_deca$x

参考内容：
1.https://www.zhihu.com/question/36481348
2.http://www.sthda.com/english/wiki/print.php?id=204
3.https://wenku.baidu.com/view/ce7ee04bcc175527072208ca.html
4.https://zhuanlan.zhihu.com/p/21580949
5.https://groups.google.com/forum/#!topic/factominer-users/BRN8jRm-_EM
6.http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=443073&do=blog&id=321347

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