设数列{Xn}有界,又limYn=0,证明：limXnYn=0

想写下证明和我的思路想法：

因为Xn有界，根据有界性定义

所以|Xn|

因为limYn=0，根据数列极限定义

|Yn-0|

对于极限limXnYn。

若我们取k=k1*M为任意小的数

则|XnYn - 0|< k1*M应该成立

|XnYn - 0|=|Xn||Yn|

|Xn|

显而易见

|XnYn - 0|< k1*M成立

所以可以证明：

LimXnYn=0

 

注：

已经知道该数列收敛（存在极限），

则有|Xn-a|<ε，

则有-ε

则有-ε+a