算法一：算法概述

1. 什么是算法？

• 1.1 算法定义

  • （algorithm）：本质是一系列程序指令，用于解决特定的运算和逻辑问题

• 1.2 算法的特点

  • 算法有简单的，也有复杂的
  • 算法有高效的，也有拙劣的

• 1.3 衡量算法标准

  • 时间复杂度
  • 空间复杂度

• 1.4算法的应用领域

  • 运算
  • 查找
  • 排序
  • 最优决策

2. 什么是数据结构？

• 2.1 数据结构定义

  • （data structure）：是数据的组织、管理和存储格式，其使用目的是为了高效地访问和修改数据

• 2.2 数据结构的组成方式

  • 2.2.1 线性结构

    • 最简单的数据结构
    • 数组、链表
    • 延伸（栈、队列、哈希表）
      

  • 2.2.2 树

    • 相对复杂的数据结构
    • 二叉树
    • 延伸（二叉堆）
      

  • 2.2.3 图

    • 更为复杂的数据结构
    • 多对多的关联关系
      

  • 2.2.4 其他数据结构

    • 由基本数据结构变形而来
    • 跳表、哈希链表、位图

3. 时间复杂度

• 3.1 时间复杂度定义

  • 若存在函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称 f(n) 是 T(n) 的同数量级函数。
  • 记作 T(n)=O(f(n))，称为O(f(n))，O为算法的渐进时间复杂度
  • 别称：大O表示法

• 3.2 时间复杂度的原则

  • 如果运行时间是常数量级，则用常数1表示
  • 只保留时间函数中的最高阶项
  • 如果最高阶项存在，则省去最高项前面的系数

• 3.3 时间复杂度的场景

  • 3.3.1 O(n)

    • T(n) = 3n
    • 最高阶项为3n，省去系数3，则转为T(n)=O(n)
      

  • 3.3.2 O($logn$)

    • T(n) = 5$logn$
    • 最高阶项为5$logn$，省去系数5，则转为T(n)=O($logn$)
      

  • 3.3.3 O(1)

    • T(n) = 2
    • 只有常数量级，则转为T(n)=O(1)
      

  • 3.3.4 O($n^2$)

    • T(n) = 0.5$n^2$ + 0.5n
    • 最高阶项为0.5$n^2$，省去系数0.5，则转为T(n)=O($n^2$)
      

  • 3.3.5 场景比较

    • O(1) < O($logn$) < O(n) < O($n^2$)

  • 3.3.6 其他场景

    • O(n$logn$)
    • O($n^3$)
    • O(mn)
    • O($2^n$)
    • O(n!)

4. 空间复杂度

• 4.1 空间复杂度定义

  • space complexity：对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度
  • 使用大O表示法
  • S(n)=O(f(n))：n为问题的规模，f(n) 为算法所占存储空间的函数

• 4.2 空间复杂度情形

  • 4.2.1 常量空间

    • 算法的存储空间大小固定，和输入规模没有直接的关系
    • O(1)

    void fun1(int n) {
    	int var = 3;
    	...
    }
    

  • 4.2.2 线性空间

    • 算法分配的空间是一个线性的集合(如数组)，并且集合大小和输入规模n成正比时
    • O(n)

    void fun2(int n) {
    	int[] arr = new int[n];
    	...
    }
    

  • 4.2.3 二维空间

    • 算法分配的空间是一个二维数组集合，并且集合的长度和宽度都与输入规模n成正比时
    • O($n^2$)

    void fun3(int n) {
    	int[][] matria = new int[n][n];
    	...
    }
    

  • 4.2.4 递归空间

    • 递归会专门分配一块内存，存储方法调用栈
    • O(n)
    • 方法调用栈
      • 进栈：当进入一个新方法时，执行入栈操作，把调用的方法和参数信息压入栈中
      • 出栈：当方法返回时，执行出栈操作，把调用的方法和参数信息中栈中弹出

    void fun4(int n) {
    	if(n<=1) {
    		return;
    	}
    	fun4(n-1);
    	...
    }