向量点积衡量相似度_向量点积与叉积

1 向量点积

向量点积度量两向量的相似度，可以分别从直角坐标与极坐标角度进行理解。

向量

，

 点积可被分解为两个方向的乘积之和，如下图：

通俗的说，假如 x 方向表示苹果，y 方向表示橙子，

 表示有 

 个苹果，

 个橙子，对苹果乘以 

，对橙子乘以 

，最终得到 

 个水果；

从极坐标角度来看，表示一个方向上能量被增强了多少，如下图：

不管从直角坐标角度还是从极坐标角度，都有以下结论：

1)当两向量同向时，点积值最大；

2)当两向量反向时，点积值最小；

3)当两向量垂直式，点积为零；

以上分别从直角坐标与极坐标角度讨论了两向量的相似度，那么以上两种表示得到的结果是一致的吗？下面给出讨论：

如上图所示，由于向量 b 与向量 e 正交，有

，可求解 

；

带入向量 p 得

，

，

，

因此，两种表示得到相同的结果。

2 向量叉积

与向量点积相反，向量叉积度量两向量的差异性，数值

 表示两向量的差异性。

1)当两向量同向时，数值

 为零，两向量差异为零；

2)当两向量反向时，数值

 为零，两向量差异为零；

3)当两向量垂直式，数值

 最大，两向量差异最大；

如两向量的构成平行四边形的面积等于

，当两向量正交时，构成平行四边形面积最大。

以上讨论中，情形 1)与 2)产生的同样的结果，表明一个固定向量可以与两个不同向量产生相同叉积，这两个不同向量与固定向量的夹角为互补关系。

在点积情形中，不存在如此情况。

仅使用数值表示两向量的差异性，其携带的信息量仍然不够。

考虑X，Y，Z 轴上单位向量 (x,y,z)， x 与 y 的差异性为 1，x 与 z 的差异性也为 1，使用方向信息可区分两种不同差异。

定义x 与 y 的差异方向为同时垂直于 x 与 y，即 z；同理，x 与 z 的差异方向同时垂直于 x 与 z；

使用右手系统，使用 xyzxyz 模式可给出坐标轴上向量叉积的方向:

xy -> z，yz ->x，zx -> y；

到此，两向量叉积方向被定义同时垂直于两向量，其数值表示两向量的差异性；

由于任意向量可表示为基向量的线性组合，下面给出任意两向量的叉积推导：

，

，

，

，

；

使用行列式可将向量叉积表示为：

。