向量的点积与叉积

1. 向量的点积

点积是指两个维度相同的向量相乘，结果是对应坐标配对的乘积之和:
eg:
$$\left[\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right]\bullet \left[\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right]=1\times 1+2\times 3=7$$

留意：

• $v\cdot w=w\cdot v$
• 向量方向相同时结果为正，
• 向量方向相反时结果为负，
• 向量方向垂直结果为0.

几何意义：点积 $v\cdot w$ 的结果是向量 $w$在$v$ 上的正交投影长度乘以 $v$ 的长度；本质是先投影再缩放.

2. 向量的叉积

几何意义：两个向量叉积的结果是第三个向量，结果向量垂直于原向量组成的平行四边形，长度等于平行四边形的面积，方向取决于原向量的相对位置，可以使用右手定则判断。
叉积 $v\times w$ 等同于寻找一个向量 $p$ (更为熟知的叫法是法向量)，满足下面的等式：
[ p 1 p 2 p 3 ] ⋅ [ x y z ] = det ⁡ ( [ x v 1 w 1 y v 2 w 2 z v 3 w 3 ] ) \begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{lll} x & v_{1} & w_{1} \\ y & v_{2} & w_{2} \\ z & v_{3} & w_{3} \end{array}\right]\right)\end{array} ​p1​p2​p3​​ ​⋅ ​xyz​ ​=det ​ ​xyz​v1​v2​v3​​w1​w2​w3​​ ​ ​​

$$\Downarrow$$

[ v 1 v 2 v 3 ] × [ w 1 w 2 w 3 ] = det ⁡ ( [ i ⃗ v 1 v 1 j ⃗ v 2 w 2 k ⃗ v 3 w 3 ] ) = [ v 2 w 3 − v 3 w 2 v 3 w 1 − v 1 w 3 v 1 w 2 − v 2 w 1 ] \left[\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}\right] \times\left[\begin{array}{l} w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{array}\right]=\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{ccc} \vec{i} & v_{1} & v_{1} \\ \vec{j} & v_{2} & w_{2} \\ \vec{k} & v_{3} & w_{3} \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l} v_{2} w_{3}-v_{3} w_{2} \\ v_{3} w_{1}-v_{1} w_{3} \\ v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1} \end{array}\right] ​v1​v2​v3​​ ​× ​w1​w2​w3​​ ​=det ​ ​i j ​k ​v1​v2​v3​​v1​w2​w3​​ ​ ​= ​v2​w3​−v3​w2​v3​w1​−v1​w3​v1​w2​−v2​w1​​ ​
留意：

• $v\perp v\times w,w\perp v\times w$
• $v\times v=0,0\times v=0$
• $v//w\iff v\times w=0$
• $v\times w=-w\times v$
• $(\lambda v)\times w=\lambda (v\times w)$
• $(v+w)\times l=v\times l+w\times l$

$若v\times w>0,则v在w顺时针方向$

$若v\times w<0,则v在w逆时针方向$

$若v\times w>0,则v与w同线，同向或反向$