【数据结构】探究邻接矩阵A^2的意义

在无权图中，邻接矩阵A^m^的意义就是表示从i到j有多少条长度为m的可行路径。

假设有矩阵，那么这个新的矩阵的每一个点(i,j)又有什么意义呢？

我们取一个点来看，假设是第一行第四列这个点(1,4)，这个点是由矩阵A的第一行{0,1,1,0,1}和矩阵A的第四列{0,1,1,0,1}计算得到的。

第一个矩阵的第一行的每一个点的坐标是(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)

第二个矩阵的第四列的每一个点的坐标是(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4)

从中我们可以得到一个规律：假设第一个矩阵的每一个点的坐标是(i,k)，那么第二个矩阵的每一个点的坐标是(k,j)，并且每一个点的意义均为两个定点之间是否有边。所以如果当第一个矩阵中的(i,k)为1，第二个矩阵中的(k,j)也为1，那么最后计算得到的结果也为1，也就表示从i到j有边。

以此类推，将第一行中的每一个点和第四列中的每一个点运算后相加，也就得到了有多少条从i到j的可行路径。并且由于每个点都是从i到k，然后再从k到j，所以每条路径的长度均为2。
所以的意义就是表示从i到j有多少条长度为2的可行路径。

另外我们也可以得到的意义就是表示从i到j有多少条长度为m的可行路径，但是这个结论只适用于无权图，因为在有权图中，邻接矩阵是用来存储边的权值的，也就失去了无权图中仅表示是否有边的这个意义了。