字符串哈希 算法思想与模板

与一般哈希区别

一般哈希算法允许冲突，且重在处理冲突
字符串哈希，这里其实是字符串前缀哈希，假定哈希结果无冲突

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算法作用

快速判断两个字符串是否相等
最常见的，当然就是通过哈希数组来判断几个串是否相同。此处的操作呢，简单，就是对于每个串，我们通过固定的转换方式，将相同的串使其的“密”一定相同，不同的串尽量不同。
此处有人指出：那难道不能先比对字符串长度，然后比对 ASCLL 码之和吗？事实上显然是不行的（比如 ab 和 ba ，并不是同一个串，但是做却会让其认为是相同的)。这种情况就叫做 hash 冲突，并且在如此的单向加密哈希中， hash 冲突的情况在所难免。
我们此处介绍的，即是最常见的一种哈希：进制哈希。
进制哈希的核心便是给出一个固定进制k，将一个串的每一个元素看做一个进制位上的数字，所以这个串就可以看做一个 k 进制的数，那么这个数就是这个串的哈希值；则我们通过比对每个串的的哈希值，即可判串是否相同

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算法思想

字符串$0$~$Q-1$范围内的十进制数

首先，来了解一下“预处理字符串前缀”的概念

• 1.把字符串看成p进制的数，从左到右，从高位到低位（低位为第0位）
  首先计算出p进制字符串对应的十进制值
• 2.因为字符串可能很长，因而这个十进制值可能非常大，以至于无法存储，这时需要对它进行取模操作
  其次，对十进制结果模上一个值Q，使得十进制值在$0$~$Q-1$的范围内。

经过这两步，即可把任意一个字符串映射到**$0$~$Q-1$范围内的数**。
tips:

根据以往经验
1：不能把任何一个字母映射成0
2：假定不存在冲突
根据以往经验，当p=131或13331，Q=2⁶⁴时，99.99%的情况下都不存在冲突
这里的Q=2⁶⁴,模数Q是很巧妙的，可以利用unsign long long来存储计算的结果，这样可以完成对Q取模的效果，从而省略在代码里写额外的取模操作

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用这样的方法处理出一个长字符串的所有前缀

递推式：$h[i]=h[i-1]\times p+str[i]$;
$h[0]$赋初值为0，i从1开始

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由前缀哈希求得任意一个子串的哈希值

假设要求字符串str中第$L-R$之间的子串的哈希值，怎么求？
我们可以利用$h[R]$ 和$h[L-1]$
$1$-$L-1$的前缀子串在计算时是0到$L-2$位（从右到左）**
1-R的前缀子串在计算时是0到R-1位（从右到左）
后者是比前者长，且位数多的，但是它们其实是共享了高位
这时候我们可以让前者乘上一个数，相当于是让其左移，低位补0，让其与后者作差
此时的差就是所求的字符串str中第L-R之间的子串的哈希值。
公式如下：

h[R]-h[L-1]*p^R-L+1

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代码模板

核心思想：将字符串看成P进制数，P的经验值是131或13331，取这两个值的冲突概率低
小技巧：取模的数用2^64，这样直接用unsigned long long存储，溢出后的结果就是取模的结果

typedef unsigned long long ULL;
ULL h[N], p[N]; // h[k]存储字符串前k个字母的哈希值, p[k]存储 P^k mod 2^64

// 初始化
p[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
    h[i] = h[i - 1] * P + str[i];
    p[i] = p[i - 1] * P;
}

// 计算子串 str[l ~ r] 的哈希值
ULL get(int l, int r)
{
    return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1];
}