直观理解：二叉堆和堆排序（Heap）

  堆（Heap）是计算机中一种特殊的数据结构，通常可以看成一个完全二叉树的数组对象【如果一个二叉树的深度为，除第 层外，其它各层 () 的结点数都达到最大个数，第 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树】，堆根据堆顶存储的是最大元素还是最小元素，可以分为大根堆和小根堆。堆具有下列性质：

• 堆中每个节点的值总是不大于（Max-heap）或者不小于（Min-heap）其父节点的值。
• 堆总是一颗完全二叉树。

  由于堆满足完全二叉树的结构，因此可以用一个下表从1开始的数组来存储堆结构的内容，其中节点存储在下标的两个子节点分别存放在下标为的位置中，而下标为的节点的父节点的下标为。如下图所示：

Max Heap

  假设当前元素的索引位置为 i，可以得到规律：

parent(i) = i / 2;
left_child(i) = 2 * i;
right_child(i) = 2 * i + 1;

  下面以大根堆为例，详细介绍堆的两个最基本的操作Shift Up和Shif Down的过程。

Shift Up

  向一个堆中插入一个元素的过程称之为shift up，首先将新插入的元素放在完全二叉树的最后一个位置，每次shift up时需要将当前节点与其父节点进行比较，如果当前节点大于其父节点，则交换当前节点和父节点的位置。直到当前节点不大于父节点为止。整个过程如下：

append new node

shift up

shift up and finished

Shift Down

  上面介绍了如何向一个堆中添加元素的过程，接下来介绍，如果移除堆顶的元素。移除堆顶元素的过程称为Shift Down，每一次移除堆顶元素时，需要用完全二叉树的最后一个元素进行补位，即将最后一个节点放在堆顶的位置，然后通过不断shift down操作，使得堆当前二叉树终满足堆的结构。每次shift down的时候需要将当前节点与其最大的叶子节点进行交换，不断重复这个过程，直到不能交换为止。

remove root

replace

shift down

shift down and finished

Heapify

  之前我们介绍到的Shift Up是通过，每次向构建好的堆中插入一个节点之后，进行堆化（Heapify）的过程，如果现在有一个已经给定的数组，怎么将其调整成一个符合条件的堆呢？这个调整的过程称之为堆化（Heapify）。堆化的过程其实也非常简单，就是从最后一个非叶子节点开始，依次倒序对每个非叶子节点执行Shift down的过程，每次执行完一个顶点之后，倒序找到下一个非叶子节点执行Shift Down的过程，直到最后对根节点执行完Shift Down，此时就能得到一个符合条件的堆。堆化的过程如下图所示：

original

step 1 shift down

step 2 shift down

step 3 shift down

step 4 shift down

step 5 shift down

finished

  至此，我们对堆进行了简单直观的介绍，二叉堆没有任何神秘的地方，主要操作也就是shift up和shift down，堆是一种非常有用的数据结构，通常用来实现优先级队列，在时间复杂度上，不论是shift up和shift down，最大时间复杂度也就是，因此，基于堆实现的优先级队列的追加和删除元素的实践复杂度都是。以上就是堆的基本内容。