【理解线性代数】（三）理解向量点乘

1. 向量点乘的几何含义

点乘的几何含义是初等数学中的知识，即点乘的几何含义是一个向量向另外一个向量上的投影的长度。计算公式为：
a → ⋅ b → = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ ( α ) \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} a \end{vmatrix} \begin{vmatrix} b \end{vmatrix} \sin(\alpha) a ⋅b = ​a​ ​ ​b​ ​sin(α)

投影比较好理解，和现实生活中光的投影类似，投影最终的结果，和投影物体的形状，被投影物体的形状，以及投影角度有关。因为这里是一个向量（带箭头的线段）向另外一个向量（也是带箭头的线段）上投影，投影出来仍然是线段，计算结果是投影线段的长度。

2. 向量点乘与变换

既然向量点乘是一个向量向另外一个向量中的投影，那么可以做如下理解：

以向量a点乘向量b为例：
向量b是一条带箭头的线段，可以代表一个一维空间。一个n维向量a，从n维空间中，向一个n维向量b代表的一维空间投影，投影后的点，在一维坐标系下，坐标值为一个实数，即点乘结果。

所以，向量点乘可以看作是n维空间中的一个向量或一个点投影到一维空间，点乘结果是投影点的坐标。

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