微积分的发现

在研究级数时，牛顿注意到，要把函数展开为无穷级数必须引入无穷小概念，以保证级数具有收敛特性。这一发现本身就是对数学研究的一项重要贡献。然而，牛顿没有到此止步，他把无穷小引进到笛卡儿的坐标系中，对函数关系中自变量的无穷小量变化与相应的函数变化量之间的比例和关系加以考查，从而发现了有史以来人类所掌握的最为强有力的数学分析工具——微分方法和概念，他当时称之为流数法。

有了流数法，牛顿轻而易举地做到了当时人们特别想做而又做不到的事：求一条曲线的切线，求曲线的变化率以及变化率的变化率、求函数的极大值和极小值，用统一方法求曲线所围的面积，等等。牛顿进一步发现，这种流数法可以直接用，也可以反着用。直接用时，可以求出曲线的切线(或函数的导数)；反着用，可以由切线求出曲线，或由导数求出函数，还可以十分方便地计算曲线包围的面积。牛顿的流数法和反流数法，就是我们今天所熟知的微分方法和积分方法。

微分和积分太重要了。过去，在伽利略、开普勒、笛卡儿和惠更斯等人手里无法求解和困难重重的难题，前人早已研究过的、人们正在研究的和许多尚无人研究的动力学、运动学问题，到了牛顿手里，用流数和反流数法都变成了简单问题。微积分后来成为一切科学研究最基本的计算工具，成为一个人是不是受过正规科学训练的重要标志之一。

发现二项式定理和微积分，在数学史上是个重要的里程碑。不过，当时才23岁的牛顿并没有充分意识到这一点。他这时的数学研究已表明他是有史以来最伟大的数学天才之一，但他关心的并不是数学，而是物理世界的结构和运动。在他看来，他新近发明的数学方法只是解题和运算的工具，它们是用来解决物体运动问题的。他敏锐地看出，开普勒的行星运动定律和伽利略的物体运动定律各自所采用的数学表达形式，用他的新方法都可以作出相同的处理：把行星的运行轨道和地面物体的运动轨迹放到适当的笛卡儿坐标系中，连续用流数法求导两次，就能得到某种相同的东西，它对物体和行星的运动起到类似的作用。