分层图，spfa，P4822 [BJWC2012] 冻结
P4822 [BJWC2012] 冻结 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
题目背景
“我要成为魔法少女！”
“那么，以灵魂为代价，你希望得到什么？”
“我要将有关魔法和奇迹的一切，封印于卡片之中„„”
在这个愿望被实现以后的世界里，人们享受着魔法卡片（SpellCard，又名符卡）带来的便捷。
现在，不需要立下契约也可以使用魔法了！你还不来试一试？
比如，我们在魔法百科全书（Encyclopedia of Spells）里用“freeze”作为关键字来查询，会有很多有趣的结果。
例如，我们熟知的 Cirno，她的冰冻魔法当然会有对应的 SpellCard 了。当然，更加令人惊讶的是，居然有冻结时间的魔法，Cirno 的冻青蛙比起这些来真是小巫见大巫了。
这说明之前的世界中有很多魔法少女曾许下控制时间的愿望，比如 Akemi Homura、Sakuya Izayoi、……
当然，在本题中我们并不是要来研究历史的，而是研究魔法的应用。
题目描述
我们考虑最简单的旅行问题吧： 现在这个大陆上有 N 个城市，M 条双向的道路。城市编号为 1 ~ N，我们在 1 号城市，需要到 N 号城市，怎样才能最快地到达呢？
这不就是最短路问题吗？我们都知道可以用 Dijkstra、Bellman-Ford、Floyd-Warshall等算法来解决。
现在，我们一共有 K 张可以使时间变慢 50%的 SpellCard，也就是说，在通过某条路径时，我们可以选择使用一张卡片，这样，我们通过这一条道路的时间 就可以减少到原先的一半。需要注意的是：
- 在一条道路上最多只能使用一张 SpellCard。
- 使用一张SpellCard 只在一条道路上起作用。
- 你不必使用完所有的 SpellCard。
给定以上的信息，你的任务是：求出在可以使用这不超过 K 张时间减速的 SpellCard 之情形下，从城市 1 到城市 N 最少需要多长时间。
输入格式
第一行包含三个整数：�N、�M、�K。
接下来 �M 行，每行包含三个整数：��Ai、��Bi、�����Timei，表示存在一条 ��Ai 与 ��Bi 之间的双向道路，在不使用 SpellCard 之前提下，通过它需要 �����Timei 的时间。
输出格式
输出一个整数，表示从 11 号城市到 �N 号城市的最小用时。
输入输出样例
输入 #1复制
4 4 1 1 2 4 4 2 6 1 3 8 3 4 8
输出 #1复制
7
说明/提示
样例 1 解释
在不使用 SpellCard 时，最短路为 1→2→41→2→4，总时间为 10。现在我们可以使用 1 次 SpellCard，那么我们将通过 2→42→4 这条道路的时间减半，此时总时间为7。
数据规模与约定
对于 100%100% 的数据，保证：
- 1≤�≤�≤501≤K≤N≤50，�≤103M≤103。
- 1≤��,��≤�1≤Ai,Bi≤N，2≤�����≤2×1032≤Timei≤2×103。
- 为保证答案为整数，保证所有的 �����Timei 均为偶数。
- 所有数据中的无向图保证无自环、重边，且是连通的。
解析：
分层图做法（这道题用二分也可以）
题目给我们k次边权减半的机会 , 直接跑最短路不太好搞 , 于是考虑分层图最短路 .
首先我们对于题目给我们的连边还是正常连 , 但是要把连好边的图复制k份 , 上下平行放置, 对于原本有边的两个节点 , 我们在不同的图之间给他们连一条边权减半的边 . 如果在跑最短路的过程中走了这条边 , 那么实际上代表的意义就是我们从11号节点走向22号节点的过程中用了一次边权减半的机会 , 挺显然的...吧?
那么我们走到第二张图之后因为第二张图和原图是一样的 , 所以并不影响我们跑最短路的正确性 . 只是它还有减半边权的机会去第三张图 , 一共k张图 , k次边权减半的机会 , 因为题目没有强行要求我们用完k次机会 , 所以答案在每张图的n号节点上取dis[n]最小值 。
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