一些题

[NOIP2018 普及组] 摆渡车

记 $f_i$ 为 $i$ 时刻发车，处理完等车时间 $\le i$ 的学生的最小花费。

线性 dp。考虑枚举分界点 $j$，将 $j+1$ 到 $i$ 的学生打包在 $i$ 时刻送走，花费为 $\sum i-t_x$，其中 $t_x$ 在 $j+1$ 到 $i$ 之间。时间复杂度 $O(T^2)$。代码

注意到 $j+1$ 到 $i$ 超过 $2m$ 可以再次分段。 时间复杂度 $O(mT)$。代码

一开始我还想了一种错误的解法：记 $f_i$ 表示处理完前 $i$ 个人的最小花费，记 $g_i$ 表示处理完前 $i$ 个人的到站时间，我们贪心的让 $g$ 越小越好。代码。错误之处在于 不具有最优子结构。具体来说，考虑到 $g$，最优的 $f$ 并不一定能推出最优解。

竞速溜冰

用废了 $i$ 个人，领队体力为 $head$，跑了 $tot$ 圈。每次决策换不换领队。代码

注意： 应当先判断不合法在判断边界。

火柴数字（二）

此题另一种做法可以参考 我同学的博客，两者大体思路差不多 。

对于前 50% 的数据，设计 $f(i,j,k)$ 表示位数为 $i$、用 $j$ 根火柴、余数为 $k$ 的最优答案。答案在 $k=0$ 中找最大 即可。时间复杂度 $O(n^{2}m)$。 代码

分析超时原因，考虑将其中一维转成收益。设计 $f(i,j)$ 表示 位数为 $i$、余数为 $j$ 的最小花费火柴数量。容易求出最终答案的位数 $len$。

统计出 $len$ 后，考虑从高位往低位从大往小填数。由于需满足位数，我们应当保证填完第 $i$ 位后，$i$ 的低位仍然存在合法方案。

具体地，假设第 $i$ 位填了 $d$、$i$ 的高位填了 $cursum$ 根火柴、$i$ 的高位余数为 $curmod$。可推出 $i$ 的低位余数 $k$：

$$curmod\times 10^i+d\times 10^{i-1}+k\equiv 0(\mathrm{mod}m)$$

$$k\equiv -curmod\times 10^i-d\times 10^{i-1}(\mathrm{mod}m)$$

则 $d$ 应满足 $cursum+a_d+f(i-1,k)\le n$。

预处理 $10$ 的幂次即可，时间复杂度 $O(nm)$。

代码

总结：状态转收益从而降维。

Cow Exhibition G

状态转收益。代码。

[CEOI2005] Mobile Service

第一问比较容易设计 $f(i,j,k)$ 表示三个快递员分别在 $j,k,p_i$ 的最小花费。

第二问要求在较小的空间限制输出方案。我们考虑根据最终的答案状态推出所有时刻的状态。考虑每一步决策推到上一步决策的过程，朴素方式是记录两个位置，事实上只需要记录转移到 $p_i$ 的位置即可，该过程因递推过程的状态转移而异。实现可以使用 unsigned char 。

在推出每次决策的位置后。又因初始位置已知，我们容易得到任意时刻快递员的变化情况。

代码

乘积凑整

简单题。状态转收益。代码

一开始的错误做法：记录三个状态，$2,5,10$ 分别最多。这样是有后效性的，即第一关键字相等情况下选 $2,5$ 取决于后续状态。

平分数字（二）

$f(i,j)$ 表示前 $i$ 个，A 比 B 多 $j$ 的最大取值。代码

完美匹配

记搜 $O(n^2{2}^n)$ 跑过去了。代码

棋盘覆盖

如果是国际象棋棋盘，发现一块骨牌覆盖一个黑点和一个白点。然后就是二分图的最大匹配。

代码

Round Numbers S

数位 dp。需要注意前导零带来的影响。

代码

[AGC020C] Median Sum

如果考虑 $0$，子集和是对称出现的。子集和 可重集 的中位数，相当于在子集和的 不重集 里找中间数。

代码

子集和（四）

完全背包。$f(i)$ 表示和为 $i$ 的方案数。

考虑到一维的时候顺序任意，不妨令 $a_i$ 为最后一个数。$f(t)-f(t-a_i)$ 即可。

代码

消失之物

上一题的 01 背包版本。考虑将最后一轮倒序撤销贡献即可。

代码