高中奥数 2021-10-04

2021-10-04-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P056 例1）

已知六边形中,,,,.

求证:面积是六边形的一半.(2008年北大自主招生)

证明

如图,旋转至,则,显然,,所以.

图1

又,,则.

又,,,所以.

故.

2021-10-04-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P057 例2）

是平行四边形内一点,且.求证:.

证明

将沿向量平移至,如图设角,则四边形和四边形均为平行四边形,.

图2

于是四边形为圆内接四边形,因此,.

即.

2021-10-04-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P057 例3）

Fagnano问题:设的三顶点分别在的三边上,则称为的内接三角形.证明:在锐角三角形的所有内接三角形中,垂足三角形的周长最短.

证明

如图所示,首先以为轴将反射为,再以为轴将反射为,再以为反射轴反射成,如此类推,并设最终被反射成,设的三边分别为、、,不难由反射变换保距离知,图中标注的几条边长分别为、、、、、,于是,不难知道,于是是与、、无关的只与三角形本身有关的常数,另一方面,若为垂足三角形,则有等等,于是折线上六点共线,取到等号.

图3

所以垂足三角形的周长是所有内接三角形中周长最短.