[HNOI2011] 卡农

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引

众所周知卡农是一种复调音乐的写作技法，小余在听卡农音乐时灵感大发，发明了一种新的音乐谱写规则。

我还真不知道

解法

做计数DP的题先观察性质；

性质1：
由于一段音乐每种音符被奏响的次数为偶数，
那么我们如果确定了前$m-1$个集合那么第$m$个集合就随之确定了（注意第$m$个集合是最后确定的集合）
性质2：
集合不可为 $\varnothing$ 且对于任意两个选出的集合$A$和$B$，有$A\ne B$

设计状态

$$f_i:前i个集合合法可得到的合法方案数$$

状态转移

之后我们考虑容斥
显然$f_i=C_{2^n-1}^m$
根据性质1有$f_i=C_{2^n-1}^{m-1}$
考虑集合为空的情况：
显然为$f_{i-1}$
而后是重复的情况：
为$f_{i-2}\ast (2^n-1-(i-2))$
再仔细想想，每种方案会被重算i次，比如：
$\{\{1,2\},\{2,3\}\}$可以由$\{1,2\}$或$\{2,3\}$转移而来
最后：
$$f_i=\frac{C_{2^n-1}^{m-1}-f_{i-1}-f_{i-2}\ast (2^n-1-(i-2))}{i}$$

code:

#include
using namespace std;
templateinline void read(T &x){
	x=0;
	char c=getchar();
	while(!isdigit(c))c=getchar();
	while(isdigit(c))x=x*10+(c&15),c=getchar();
}
typedef long long ll;
const int N=1e6+7,mod=1e8+7;
int n,m,x,f[N],C;
int qpow(int a,int b=mod-2){
	int s=1;
	for(;b;b>>=1,a=(ll)a*a%mod)if(b&1)s=(ll)s*a%mod;
	return s;
}
int main(){
	read(n),read(m),x=qpow(2,n)-1;
	if(x<0)x+=mod;
	C=(ll)x*(x+mod-1)%mod*qpow(2)%mod;
	for(int i=3;i<=m;i++)
		f[i]=((C-f[i-1]-(ll)f[i-2]*((x-i+2+mod)%mod)%mod)%mod+mod)%mod*qpow(i)%mod,C=(ll)C*(x-i+1+mod)%mod*qpow(i)%mod;
	printf("%d\n",f[m]);
}

TXL