【学习笔记】AGC008

Tetromino Tiling

Black Radius

• 巧妙的题目
• sb翻译害我想了好久
• 设$f(x,d)$表示距离$x$小于等于$d$的点的集合
• 如果$f(x,d1)=f(y,d2)$
• 那么对于任意$x\to y$路径上的点$z$，存在$d$满足$f(z,d)=f(x,d1)=f(y,d2)$
• 并且$d$值是呈$V$型的（真的好难证 qwq
• 证明可以考虑$f(x,d)$的唯一性
• 那么对于若干同构的$f(x,d)$，我们只在$d$值最小处计数
• 如果$d$是最小的，那么应该满足对于任意与$x$相邻的$y$，$f(x,d)\ne f(y,d-1)$
• 设$sz[x]$表示从$x$出发最长链长度，$sz2[x]$表示从$x$出发次长链的长度
• $mx[x]$表示节点$x$最大的合法的$d$
• 那么$mx[x]=\min (sz[x]-1,sz2[x]+1)$
• 答案是$\sum (mx[x]+1)+1$
• 如果只有一部分点能作为根呢
• 考虑对于那些最小的$d$，找到一个最优秀的替代点
• 不难发现$d$具有单调性
• 设$lw[x]$表示节点$x$最小的能找到替代点$d$
• 如果$f(x,d)$能找到替代点，则存在与$x$相邻的$y$，满足$f(x,d)=f(y,d+1)$
• 那么$lw[x]={\min }_{y\in son[x]}(\max (sz[y]+1,lw[y]-1))$
• 显然我们需要换根
• 然后就做完了
• 答案是$\sum (mx[x]-lw[x]+1)+1$
• 复杂度$O(n)$

Division into Two

• 振作起来
• 巧妙的限制转化
• 不妨将任意方案抽象成一个$01$序列
• 直接转移比较恶心
• 毋宁放弃直接转移
• 不妨设$A\ge B$
• 首先根据鸽巢原理，对于任意 $i\ge 3$ 有 $s[i]-s[i-2]\ge B$
• 有了这个性质就可以转移了
• $dp[i]$表示前$i$个数，第$i$个数在$X$集合中的方案数
• 显然合法的转移 $[l,r]$ 可以用前缀和优化
• 复杂度 $O(n)$

Rectangle

• 鸽巢原理构造
• 应该是不困难的
• 显然要估算一下值域

Sequence Growing Easy

Sequence Growing Hard