更多IT资源请添加微信: xuexiv5876（免费赠送各大机构课程）
一 什么是平衡二叉树？
- 概念
平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又被称为AVL树（有别于AVL算法），且具有以下性质：它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多。
- 为什么要用平衡二叉树。
之前我们在学习二分搜索树的时候有遇到过一种情况，在顺序添加一组数据的时候，极端情况下二分搜索树可能会退化成一个链表，所以此处我们需要使用平衡二叉树来解决这些问题；
- 平衡二叉树详解
从这个图中我们可以看出，一个满二叉树就是一个平衡二叉树；平衡二叉树1同样的一个完全二叉树也是一个平衡二叉树；平衡二叉树2甚至线段树也是一个平衡二叉树，大家应该已经发现规律了，当在一棵树中左右节点差值不大于1时我们就可以称这棵树为平衡二叉树；平衡二叉树3平衡二叉树4这张图体现了平衡二叉树的第二个条件，高度和节点数量之间的关系也是O(logn)的；
- 平衡二叉树的实现思路。
首先我们维护一个属性来实现对平衡二叉树高度的记录；然后在通过高度来计算平衡因子。
高度值：我们从叶子节点开始进行记录，初始值为1，每一层节点的值为左右两个节点中的最大值；
平衡因子：左右两个节点的高度差值取正数，就是当前节点的平衡因子；
- 代码实现
使用BST底层结构
package com.mufeng.AVLTree;
import com.mufeng.set.FileOperation;
import java.util.ArrayList;
/**
* Created by wb-yxk397023 on 2018/7/13.
*/
public class BST, V> {
private class Node{
public K key;
public V value;
public Node left, right;
public Node(K key, V value){
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
}
}
private Node root;
private int size;
public BST(){
root = null;
size = 0;
}
public int getSize(){
return size;
}
public boolean isEmpty(){
return size == 0;
}
// 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)
public void add(K key, V value){
root = add(root, key, value);
}
// 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法
// 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, K key, V value){
if(node == null){
size ++;
return new Node(key, value);
}
if(key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if(key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
return node;
}
// 返回以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点
private Node getNode(Node node, K key){
if(node == null)
return null;
if(key.equals(node.key))
return node;
else if(key.compareTo(node.key) < 0)
return getNode(node.left, key);
else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
return getNode(node.right, key);
}
public boolean contains(K key){
return getNode(root, key) != null;
}
public V get(K key){
Node node = getNode(root, key);
return node == null ? null : node.value;
}
public void set(K key, V newValue){
Node node = getNode(root, key);
if(node == null)
throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");
node.value = newValue;
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node){
if(node.left == null)
return node;
return minimum(node.left);
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node){
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
// 从二分搜索树中删除键为key的节点
public V remove(K key){
Node node = getNode(root, key);
if(node != null){
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key){
if( node == null )
return null;
if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
node.left = remove(node.left , key);
return node;
}
else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
node.right = remove(node.right, key);
return node;
}
else{ // key.compareTo(node.key) == 0
// 待删除节点左子树为空的情况
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
// 待删除节点右子树为空的情况
if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
return leftNode;
}
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
public static void main(String[] args){
System.out.println("Pride and Prejudice");
ArrayList words = new ArrayList<>();
if(FileOperation.readFile("pride-and-prejudice.txt", words)) {
System.out.println("Total words: " + words.size());
BST map = new BST<>();
for (String word : words) {
if (map.contains(word))
map.set(word, map.get(word) + 1);
else
map.add(word, 1);
}
System.out.println("Total different words: " + map.getSize());
System.out.println("Frequency of PRIDE: " + map.get("pride"));
System.out.println("Frequency of PREJUDICE: " + map.get("prejudice"));
}
System.out.println();
}
}
引入FileOperation
package com.mufeng.AVLTree;
import java.io.BufferedInputStream;
import java.io.File;
import java.io.FileInputStream;
import java.io.IOException;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Locale;
import java.util.Scanner;
/**
* Created by wb-yxk397023 on 2018/7/13.
*/
// 文件相关操作
public class FileOperation {
// 读取文件名称为filename中的内容，并将其中包含的所有词语放进words中
public static boolean readFile(String filename, ArrayList words){
if (filename == null || words == null){
System.out.println("filename is null or words is null");
return false;
}
// 文件读取
Scanner scanner;
try {
File file = new File(filename);
if(file.exists()){
FileInputStream fis = new FileInputStream(file);
scanner = new Scanner(new BufferedInputStream(fis), "UTF-8");
scanner.useLocale(Locale.ENGLISH);
}
else
return false;
}
catch(IOException ioe){
System.out.println("Cannot open " + filename);
return false;
}
// 简单分词
// 这个分词方式相对简陋, 没有考虑很多文本处理中的特殊问题
// 在这里只做demo展示用
if (scanner.hasNextLine()) {
String contents = scanner.useDelimiter("\\A").next();
int start = firstCharacterIndex(contents, 0);
for (int i = start + 1; i <= contents.length(); )
if (i == contents.length() || !Character.isLetter(contents.charAt(i))) {
String word = contents.substring(start, i).toLowerCase();
words.add(word);
start = firstCharacterIndex(contents, i);
i = start + 1;
} else
I++;
}
return true;
}
// 寻找字符串s中，从start的位置开始的第一个字母字符的位置
private static int firstCharacterIndex(String s, int start){
for( int i = start ; i < s.length() ; i ++ )
if( Character.isLetter(s.charAt(i)) )
return I;
return s.length();
}
}
AVLTree
package com.mufeng.avltree;
import com.mufeng.set.FileOperation;
import java.util.ArrayList;
/**
* Created by wb-yxk397023 on 2018/7/13.
*/
public class AVLTree, V> {
private class Node{
public K key;
public V value;
public Node left, right;
public int height;
public Node(K key, V value){
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
height = 1;
}
}
private Node root;
private int size;
public AVLTree(){
root = null;
size = 0;
}
public int getSize(){
return size;
}
public boolean isEmpty(){
return size == 0;
}
/**
* 获取节点node的高度
* @param node
* @return
*/
private int getHeight(Node node){
if (node == null){
return 0;
}
return node.height;
}
/**
* 获取节点node的平衡因子
* @param node
* @return
*/
private int getBalanceFactor(Node node){
if (node == null){
return 0;
}
return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}
// 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)
public void add(K key, V value){
root = add(root, key, value);
}
// 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法
// 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, K key, V value){
if(node == null){
size ++;
return new Node(key, value);
}
if(key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if(key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
// 更新getHeight
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right));
// 计算平衡因子
int balanceFctor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFctor) > 1){
System.out.println("unbalanced : " + balanceFctor);
}
return node;
}
// 返回以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点
private Node getNode(Node node, K key){
if(node == null)
return null;
if(key.equals(node.key))
return node;
else if(key.compareTo(node.key) < 0)
return getNode(node.left, key);
else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
return getNode(node.right, key);
}
public boolean contains(K key){
return getNode(root, key) != null;
}
public V get(K key){
Node node = getNode(root, key);
return node == null ? null : node.value;
}
public void set(K key, V newValue){
Node node = getNode(root, key);
if(node == null)
throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");
node.value = newValue;
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node){
if(node.left == null)
return node;
return minimum(node.left);
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node){
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
// 从二分搜索树中删除键为key的节点
public V remove(K key){
Node node = getNode(root, key);
if(node != null){
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key){
if( node == null )
return null;
if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
node.left = remove(node.left , key);
return node;
}
else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
node.right = remove(node.right, key);
return node;
}
else{ // key.compareTo(node.key) == 0
// 待删除节点左子树为空的情况
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
// 待删除节点右子树为空的情况
if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
return leftNode;
}
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
}
二 检查二分搜索树的性质和平衡性
1⃣️ 检查二分搜索树的性质
/**
* 判断该二叉树是否是一棵二分搜索树
* @return
*/
public boolean isBST(){
ArrayList keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys);
for (int i = 1; i < keys.size(); i++){
if (keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0){
return false;
}
}
return true;
}
private void inOrder(Node node, ArrayList keys){
if (node == null){
return;
}
inOrder(node.left, keys);
keys.add(node.key);
inOrder(node.right, keys);
}
2⃣️ 检查二分搜索树是否是平衡二叉树
/**
* 判断该二叉树是否是一颗平衡二叉树
* @return
*/
public boolean isBalanced(){
return isBalanced(root);
}
/**
* 判断以node为根的二叉树是不是一颗平衡二叉树，递归算法；
* @param node
* @return
*/
private boolean isBalanced(Node node){
if (node == null){
return false;
}
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1){
return false;
}
return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
}
三 旋转操作的基本原理
1⃣️ 在什么时候维护平衡
旋转操作1
旋转操作2
2⃣️ 采用什么样的方式？
加入节点后向上维护平衡性；
3⃣️ 右旋转
右旋转1
右旋转2
首先我们需要将x的右子树等于y也就是这样
右旋转3
右旋转4
右旋转5
// 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// x T4 向右旋转 (y) z y
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// z T3 T1 T2 T3 T4
// / \
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.right;
// 向右旋转过程
x.right = y;
y.left = T3;
// 更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
5⃣️ 左旋转原理
左旋转的原理与右旋转是完全对称的，请参考右旋转；
6⃣️ 左旋转代码实现
// 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// T1 x 向左旋转 (y) y z
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// T2 z T1 T2 T3 T4
// / \
// T3 T4
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
// 向左旋转过程
x.left = y;
y.right = T2;
// 更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
7⃣️ 平衡维护(实现旋转操作以后我们需要对添加过程进行相应的调用)
// 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法
// 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, K key, V value){
if(node == null){
size ++;
return new Node(key, value);
}
if(key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if(key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
// 更新getHeight
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right));
// 计算平衡因子
int balanceFctor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFctor) > 1){
System.out.println("unbalanced : " + balanceFctor);
}
// 平衡维护
if (balanceFctor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0){
return rightRotate(node);
}
if (balanceFctor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0){
return leftRotate(node);
}
return node;
}
四 LR和RL
LR：新插入的节点在左侧的右侧；这样的情况下我们需要先对x进行左旋转让它变成LL(左倾斜)的情况LR图示1此时我们直接使用右旋转就可以搞定了；LR图示2
RL：新插入的节点在右侧的左侧；此时我们首先对x节点进行右旋转RL图示1然乎直接使用左旋转就可以搞定；RL图示2
LR和RL代码实现
// 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法
// 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, K key, V value){
if(node == null){
size ++;
return new Node(key, value);
}
if(key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if(key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
// 更新getHeight
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right));
// 计算平衡因子
int balanceFctor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFctor) > 1){
System.out.println("unbalanced : " + balanceFctor);
}
// 平衡维护
// LL
if (balanceFctor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0){
return rightRotate(node);
}
// RR
if (balanceFctor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0){
return leftRotate(node);
}
// LR
if (balanceFctor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0){
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
// RL
if (balanceFctor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0){
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
return node;
}
五 从AVL树中删除元素
对于AVL树的删除操作其实非常简单，添加的时候我们有四种情况可能会出现失衡(LL RR LR RL)，对于删除操作也是一样的；使用向上回溯的方式就会发现，当我们删除一个元素后也有可能会导致二分搜索树的失衡；这个时候就需要我们来维护AVL的平衡，维护的方式和添加的时候是一样的；
代码实现
private Node remove(Node node, K key){
if( node == null )
return null;
Node retNode;
if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
node.left = remove(node.left , key);
retNode = node;
}
else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
node.right = remove(node.right, key);
retNode = node;
}
else{ // key.compareTo(node.key) == 0
// 待删除节点左子树为空的情况
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
retNode = rightNode;
}
// 待删除节点右子树为空的情况
if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
retNode = leftNode;
}
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
retNode = successor;
}
// 更新getHeight
retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left),getHeight(retNode.right));
// 计算平衡因子
int balanceFctor = getBalanceFactor(retNode);
// 平衡维护
// LL
if (balanceFctor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0){
return rightRotate(retNode);
}
// RR
if (balanceFctor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0){
return leftRotate(retNode);
}
// LR
if (balanceFctor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0){
retNode.left = leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);
}
// RL
if (balanceFctor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0){
retNode.right = rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);
}
return retNode;
}
其实对于我们现在的代码是有一个小BUG的，因为我们在进行removeMin操作的时候并没有维护自平衡所以这个时候可能会导致失衡的情况发生；此时我们只需要维护removeMin的删除操作即可
private Node remove(Node node, K key){
if( node == null )
return null;
Node retNode;
if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
node.left = remove(node.left , key);
retNode = node;
}
else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
node.right = remove(node.right, key);
retNode = node;
}
else{ // key.compareTo(node.key) == 0
// 待删除节点左子树为空的情况
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
retNode = rightNode;
} else if(node.right == null){
// 待删除节点右子树为空的情况
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
retNode = leftNode;
}else {
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
retNode = successor;
}
}
if (retNode == null){
return null;
}
// 更新getHeight
retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left),getHeight(retNode.right));
// 计算平衡因子
int balanceFctor = getBalanceFactor(retNode);
// 平衡维护
// LL
if (balanceFctor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0){
return rightRotate(retNode);
}
// RR
if (balanceFctor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0){
return leftRotate(retNode);
}
// LR
if (balanceFctor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0){
retNode.left = leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);
}
// RL
if (balanceFctor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0){
retNode.right = rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);
}
return retNode;
}