高中奥数 2021-08-25

2021-08-25-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P022 习题07）

已知点、分别在由点引出的两条射线上,且为一定值.求证的外接圆恒过不依赖于点、的点.

证明

作的外接圆,交的平分线于点.

下面证明:是不依赖于点、的定点.

连结、、.

在中,由正弦定理得(1).

对圆内接四边形应用托勒密定理得(2).

将式(1)代入式(2)得为定值.

故所证结论成立.

2021-08-25-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P022 习题08）

已知凸六边形所有的角都是钝角,圆的圆心为,且圆分别与圆和圆相外切,其中,.设过圆的两个切点所连直线与过圆的两个切点所连直线相交,且过这个交点与点的直线为;类似地,由圆、圆和定义直线,由圆、圆和定义直线.证明:、、三线共点.

证明

记这六个切点分别为、、、、、,如图.

图1

设、、两两交于点、、.

连结、、.

由角元塞瓦定理得(1).

又,则.

故式(1)为.

完全类似地得,.

以上三式相乘并由,

,

,

得.

由角元塞瓦定理的逆定理知,、、三线共点,即、、三线共点.

2021-08-25-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P022 习题09）

设正方形内接于,其顶点和在边上,顶点和分别在边和上,记其中心为.同样地,定义两个顶点分别在边和上的内接正方形的中心依次为和.求证:直线、、三线共点.(42届IMO预选题)

证明

如图,连结、.

图2

于是,.

由正弦定理有,

则.

因为为正方形的中心,所以,.

又因为,所以,,.

则,.

从而,.

同理,,

.

故。

由角元Ceva定理的逆定理知结论成立.