luogu P5560 [Celeste-B]Golden Feather

题目大意

有 $n$ 个点的完全无向图，边 $(i,j)$ 的权是 $\gcd (a_i,a_j)$，其中 $a_x=x(x+2)$。求最小生成树的边权之和。

解题思路

数学题。看样例直接交一发 $n-1$，WA。

打表。发现 $n=4$ 的时候是5，$n=10$ 的时候是11。然后剩下的貌似就是 $n-1$ 了，过了。

#include 
#include 
#include 

typedef long long ll;

ll a;
int main (){
	int T;
	scanf ("%d", &T);
	while (T--){
		scanf ("%lld", &a);
		if (4==a||10==a) printf ("%lld\n", a+1);
		else printf ("%lld\n", a-1);
	}
}

考虑证明这个结论。

当 $n$ 变大1的时候，即加入一个新的点 $n$，我们不难想到在原来的最小生成树上加一条边。这条边要么是1，要么不是1。

如果找到一个点跟这个点互素，那么就是1；否则，如果所有的点都不跟这个点互素，那么就不是1。是什么呢，注意到1号点跟他不互素，所以是3。

怎么判断所有的点都不跟这个点互素。首先得是偶数。其次还得被3整除。观察 $n(n+2)\mathrm{mod}6$，显然只有0,4满足要求。

观察前面 $n-1$ 个点$\mathrm{mod}6$。偶数的情况显然满足。奇数的情况有三种，$1\times 3,3\times 5,5\times 1$。带3的情况显然满足，剩下最后一种情况。

最后一种情况下，不会了。打表找规律吧。