代码随想录算法训练营第五十六天|583. 两个字符串的删除操作、72. 编辑距离、编辑距离总结篇

583. 两个字符串的删除操作

文档讲解 ： 代码随想录 - 583. 两个字符串的删除操作
状态：再次回顾。

动态规划五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1为结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。

2. 确定递推公式

   • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
     • dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
   • 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候
     • 情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1
     • 情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1
     • 情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2
       因为 dp[i][j - 1] + 1 = dp[i - 1][j - 1] + 2，所以递推公式可简化为：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);

3. dp数组如何初始化
   从递推公式中，可以看出dp[i][0] 和 dp[0][j]要初始化。
   dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i][0] = i。dp[0][j]的话同理，所以代码如下：

   vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));
   for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
   for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
   

4. 确定遍历顺序
   从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。
   

5. 举例推导dp数组:
   以word1:"sea"，word2:"eat"为例，推导dp数组状态图如下：
   

本题代码：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));
        for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

• 时间复杂度: $O(n\ast m)$
• 空间复杂度: $O(n\ast m)$

72. 编辑距离

文档讲解 ： 代码随想录 - 72. 编辑距离
状态：再次回顾。

动态规划五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i][j]：表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。

2. 确定递推公式

   if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
   	不操作；
   	}
   if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) {
   	word1增加（插入）； // 相当于word2删除
   	word1删除;
   	word1替换;
   	}
   

   if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
   dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
   }
   else {
       dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1; 
       //从左到右分别是替换、删除、增加
   }
   

3. dp数组如何初始化
   dp[i][0] ：以下标·i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。那么dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;
   同理dp[0][j] = j;
   所以C++代码如下:

   for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
   for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j; //dp[0][0]在上面已经处理过
   

4. 确定遍历顺序
   从递推公式 dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1; 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。
   

5. 举例推导dp数组:
   以示例1为例，输入：word1 = "horse", word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：
   

本题代码：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));
        for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                }
                else {
                    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

• 时间复杂度: $O(n\ast m)$
• 空间复杂度: $O(n\ast m)$