代码随想录算法训练营第五十二天|300.最长递增子序列、674. 最长连续递增序列、718. 最长重复子数组

300.最长递增子序列 ★

文档讲解 ： 代码随想录 - 300.最长递增子序列
状态：再次回顾。（★：需要多次回顾并重点回顾。）

动态规划五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

2. 确定递推公式
   位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 +1 的最大值。
   所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

3. dp数组如何初始化
   一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1。

4. 确定遍历顺序
   dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
   j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要把0 到 i-1 的元素都遍历,所以默认习惯从前向后遍历。

   for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
       for (int j = 0; j < i; j++) {
           if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
       }
       if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
   }
   

5. 举例推导dp数组:
   输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：
   

本题代码：

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() <= 1) return nums.size();
        vector<int> dp(nums.size(), 1);
        int result = 0;
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
        }
        return result;
    }
};

• 时间复杂度: $O(n^2)$
• 空间复杂度: $O(n)$

674. 最长连续递增序列

文档讲解 ： 代码随想录 - 674. 最长连续递增序列
状态：再次回顾。

动态规划五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i]表示以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]

2. 确定递推公式
   如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 +1 。
   即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;

3. dp数组如何初始化
   以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素，所以dp[i]应该初始1;

4. 确定遍历顺序
   从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。

   for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
       if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
           dp[i] = dp[i - 1] + 1;
       }
   }
   

5. 举例推导dp数组:
   输入：nums = [1,3,5,4,7]，dp数组的变化如下：
   

本题代码：

class Solution {
public:
    int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        int result = 1;
        vector<int> dp(nums.size() ,1);
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
                dp[i] = dp[i - 1] + 1;
            }
            if (dp[i] > result) result = dp[i];
        }
        return result;
    }
};

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

718. 最长重复子数组 ★

文档讲解 ： 代码随想录 - 718. 最长重复子数组
状态：再次回顾。（★：需要多次回顾并重点回顾。）

重复子数组，是连续子序列！

动态规划五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i]表示以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。

2. 确定递推公式
   根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。
   即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

3. dp数组如何初始化
   根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！
   但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
   所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

4. 确定遍历顺序
   外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。

   for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
       for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
           if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
               dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
           }
           if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
       }
   }
   

5. 举例推导dp数组:
   拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：
   

本题代码：

class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        vector<vector<int>> dp (nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));
        int result = 0;
        for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }
                if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
            }
        }
        return result;
    }
};

• 时间复杂度：$O(n\times m)$，n为A长度，m为B长度
• 空间复杂度：$O(n\times m)$