代码随想录算法训练营第五十五天|392.判断子序列、115.不同的子序列

392.判断子序列

文档讲解 ： 代码随想录 - 392.判断子序列
状态：再次回顾。

动态规划五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i][j]：表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。

2. 确定递推公式
   在确定递推公式的时候，首先要考虑如下两种操作，整理如下：

   • if (s[i - 1] == t[j - 1])
     • t中找到了一个字符在s中也出现了
       if (s[i - 1] == t[j - 1])，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;，因为找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1
   • if (s[i - 1] != t[j - 1])
     • 相当于t要删除元素，继续匹配
       if (s[i - 1] != t[j - 1])，此时相当于t要删除元素，t如果把当前元素t[j - 1]删除，那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了，即：dp[i][j] = dp[i][j - 1];

3. dp数组如何初始化
   从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，所以dp[0][0]和dp[i][0]是一定要初始化的。
   

   vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
   

4. 确定遍历顺序
   从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和dp[i][j - 1]，那么遍历顺序也应该是从上到下，从左到右
   

5. 举例推导dp数组:
   以示例一为例，输入：s = "abc", t = "ahbgdc"，dp状态转移图如下：
   

本题代码：

class Solution {
public:
    bool isSubsequence(string s, string t) {
        vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else dp[i][j] = dp[i][j - 1];
            }
        }
        if (dp[s.size()][t.size()] == s.size()) return true;
        return false;
    }
};

• 时间复杂度：$O(n\times m)$
• 空间复杂度：$O(n\times m)$

115.不同的子序列 ★

文档讲解 ： 代码随想录 - 115.不同的子序列
状态：再次回顾。（★：需要多次回顾并重点回顾）

动态规划五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。

2. 确定递推公式
   在确定递推公式的时候，首先要考虑如下两种操作，整理如下：

   • if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]
     • 一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母，所以只需要 dp[i-1][j-1]。
     • 一部分是不用s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。
   • if (s[i - 1] != t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]
     • dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配（就是模拟在s中删除这个元素），即：dp[i - 1][j]

3. dp数组如何初始化
   从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][j] 是从上方和左上方推导而来，那么 dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。
   

   vector<vector<long long>> dp(s.size() + 1, vector<long long>(t.size() + 1));
   for (int i = 0; i <= s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
   for (int j = 1; j <= t.size(); j++) dp[0][j] = 0; // 这行代码可以和dp数组初始化的时候放在一起
   

4. 确定遍历顺序
   从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和dp[i - 1][j]，那么遍历顺序也应该是从上到下，从左到右
   

5. 举例推导dp数组:
   以s："baegg"，t："bag"为例，推导dp数组状态如下：
   

本题代码：

class Solution {
public:
    int numDistinct(string s, string t) {
        if (s.size() < t.size()) return 0;
        vector<vector<uint64_t>> dp(s.size() + 1, vector<uint64_t>(t.size() + 1)); 
        for (int i = 0; i <= s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
                if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                else dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
        return dp[s.size()][t.size()] > INT_MAX ? -1 : dp[s.size()][t.size()]; // 题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围
    }
};

• 时间复杂度: $O(n\ast m)$
• 空间复杂度: $O(n\ast m)$