选择问题--二分搜索技术（分治法）

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二分搜索技术

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• 给定n个元素a[0：n－1]，需要在这n个元素中找出一个特定元素x。
• 首先对n个元素进行排序，可以使用C++标准模板库函数sort()。
• 比较容易想到的是用顺序搜索方法，逐个比较a[0：n－1]中的元素，直至找到元素x或搜索遍整个数组后确定x不在其中。
• 因此在最坏的情况下，顺序搜索方法需要 O(n)次比较。
• 二分搜索技术充分利用了n个元素已排好序的条件，采用分治策略的思想，在最坏情况下用O(log n) 时间完成搜索任务。
• 二分搜索算法的基本思想是将n个元素分成个数大致相同的两半，取a[n/2]与x作比较。
  如果x＝a[n/2]，则找到x，算法终止。
  如果x＜a[n/2]，则我们只要在数组a的左半部分继续搜索x。
  如果x＞a[n/2]，则我们只要在数组a的右半部分继续搜索x。

//数组a[]中有n个元素，已经按升序排序，待查找的元素x
template<class Type>
int BinarySearch(Type a[],const Type& x,int n)
{
	int left=0;				//左边界
	int right=n-1;				//右边界
	while(left<=right)
	{
		int middle=(left+right)/2;	//中点
		if (x==a[middle]) return middle;
 		if (x>a[middle]) left=middle+1;
		else right=middle-1;
	}	return -1;			//未找到x
}

选择问题

问题描述：
对于给定的n个元素的数组a[0：n—1]，要求从中找出第k小的元素。
输入
输入有多组测试例。
对每一个测试例有2行，第一行是整数n和k（1≤k＜n≤1000），第二行是n个整数。
输出
第k小的元素。

• 一种简单的解决方法就是对全部数据进行排序，于是得到问题的解。 但即使用较好的排序方法，算法的复杂性也为nlogn 。
• 快速排序算法是分治策略的典型应用，不过不是对问题进行等份分解（二分法），而是通过分界数据（支点）将问题分解成独立的子问题。
• 首先选第一个数作为分界数据，将比它小的数据存储在它的左边，比它大的数据存储在它的右边，它存储在左、右两个子集之间。这样左、右子集就是原问题分解后的独立子问题。
• 再用同样的方法，继续解决这些子问题，直到每个子集只有一个数据，就完成了全部数据的排序工作。
• 利用快速排序算法的思想，来解决选择问题。 记一趟快速排序后，分解出左子集中元素个数为 nleft,则选择问题可能是以下几种情况之一：
• nleft ＝k﹣1，则分界数据就是选择问题的答案。
• nleft ＞k﹣1，则选择问题的答案继续在左子集中找，问题规模变小了。
• nleft ＜k﹣1，则选择问题的答案继续在右子集中找，
  问题变为选择第k-nleft-1 小的数，问题的规模变小了。

#include 
using namespace std;

#define NUM 1001
int a[NUM];
//在a[left:right]中选择第k小的元素
int select(int left, int right, int k)
{
    //找到了第k小的元素
	if (left >= right) return a[left];
	int i = left;      //左侧
	int j = right+1;     //右侧
	int pivot = a[left];   //把最左侧的元素作为分界数据
	while (true)       //快速排列交换数据循环
	{
		do {                  //左侧
			i = i+1;
		} while (a[i] < pivot);
		do {                  //右侧
			j = j-1;
		} while (a[j] > pivot);
		if (i >= j) break;
		swap(a[i], a[j]);
	}
	if (j-left+1 == k) return pivot;
	a[left] = a[j];
	a[j] = pivot;
	if (j-left+1 < k)
	//对一个段进行递归调用
	return select(j+1, right, k-j+left-1);    //找右边
	else return select(left, j-1, k);     //找左边
}

int main()
{
	int n, k;
	while (cin>>n>>k)
	{
		for (int i=0; i<n; i++)
			cin>>a[i];
		cout<<select(0, n-1, k)<<endl;
	}
	return 0;
}