卡方检验二三事

卡方检验是是使用样本频数与比例来检验关于总体值的假设，也是非参数检验的一种，

它分为拟合度研究和独立性研究。

我们今天先来说拟合度研究。这种研究常常用于分类的情况，具体来说，就是在未知总体全貌的情况下，基于样本数据中得到的比例与频数来检验其对总体的假设。

拟合度检验一般是比较期望频数和观察频数的拟合度。第一步是要有一个虚无假设H0来假定一个比例，再通过这个比例乘以样本的具体值得到期望频数。虚无假设一般是陈述研究中的分类没有差异的假设（当然虚无假设也可以假定不同分类所占比例不同，但是必须是一个确切的比例值），期望频数由虚无假设里的比例乘以样本容量得到，而观察频数就是我们得到的数据中，不同分类下的具体数值。当虚无假设和观察频数的拟合度高时，就无法拒绝虚无假设，而拟合度低的时候，就可以拒绝虚无假设。通过计算卡方值再查表比较，就能得到拟合度是高还是低了。

我们来举个例子形象一点来唠一唠。

比如我们想知道一款有AB两种口味的饮料是否存在一种比另一种好卖的情况，我们的虚无假设H0就是它们卖得一样好。我们选取一家淘宝店（每个口味都货源充足）这个月的销量来做样本，得到这家店在这个月里，共卖出一百件饮料，其中A口味卖了38件，B口味卖了62件。所以观察频数分别是38和62，而期望频数则是50和50。

在计算卡方值比较拟合度之前，要先确定显著性水平，一般研究中采用的显著性水平指标为0.05，再要确定自由度，自由度df=N-1，这个N是种类数，在这个例子里就是df=2-1=1，所以计算完之后要去和表中自由度等于1，显著性水平为0.05的边界值X²0.05（1）=3.84作比较。此后我们来计算卡方值。卡方的计算十分容易，比如我们这个例子里，用A的观察频数减去期望频数的差的平方除以A的期望频数再加上B的观察频数减去期望频数的差的平方除以B的期望频数，得到的指就是卡方值了，也就是X²=（38-50）²/50+（62-50）²/50最后得到的结果是X²=5.76，而X²0.05（1）=3.84，所以我们得到的卡方值是超越了这个临界点的，所以说AB两种饮料的好卖程度之间的差异显著，拒绝了这俩一样好卖的虚无假设H0。

有杠精会说，这俩销量都不一样，那肯定会差异显著啊。其实不是这样的，就比如还是看不同口味的同种产品是否一样好卖，这里有另外一种饼干，有CDF两种口味，我们选取一家淘宝店（每个口味都货源充足）这个月的销量来做样本，得到这家店在这个月里，共卖出900件饼干，其中C口味卖了270件，D口味卖了313件，F口味卖了317件。虚无假设依然是它们一样好卖，所以比例都是1/3，其期望频数就是300，300，300。显著性依然采用0.05作为指标，自由度为df=3-1=2，查表得到X²0.05（2）=5.99，计算得到X²=（270-300）²/300+（313-300）²/300+（317-300）²/300=4.53，此时我们得到的卡方值是小于临界值的，这就说明我们无法拒绝虚无假设，也就是说，这个CDF不同的销量值270，313，317，在卡方检验上反而反映了它们其实卖的一样好。这就是统计学的魅力了。

当然了，作为非参数检验的一种，卡方检验是一种不够灵敏的检验方式，在有选择的情况下还是尽量选择参数检验，但是如果条件不允许，非参数检验还是可以作为一种科学的统计学手段来做检验。

卡方检验的拟合度研究就先到这里，明天再说独立性研究。

这里附上一张卡方分布表。

卡方分布表