数据结构——Floyd算法

算法的思想：
遍历每个结点。然后以这个结点为中间结点来更新所有的结点。
edge(I,j) = min( edge( I , k ) + edge( k , j ) , edge( I , j ) )
edge就是边的长度
例如：

image.png

首先 以 1 为中间结点，更新（1，2），（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，3）（2，4）……等所有结点
其次，在以2为中间结点，更新（1，2），（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，3）（2，4）……等所有结点
再者，在以3为中间结点，更新（1，2），（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，3）（2，4）……等所有结点
以至于后面所有的结点。

---

**在这里需要用到一个数组来记录前继结点。 **
这个算法的主要形式就是三层循环。从外到内在这里依次为一，二，三，层循环。
第一层循环是中间结点。
第二层循环0是起始结点
第三层循环是结束结点。

---

需要定义一个path[][]数组。初始化为每对结点的终止结点，例如（i，j）那就在i，j对应的path数组中对应的值为j。
初始化path数组如下：

image.png

三层循环如下：

image.png

代码如下；

//
//  main.cpp
//  Floyd
//
//  Created by 橘子和香蕉 on 2018/12/15.
//  Copyright © 2018 橘子和香蕉 All rights reserved.
//
/*
 1:求各个顶点之间的最短路径 时间复杂度是n*3
 2:从图的邻接矩阵出发，
 还是和之前的算法一样，找一个中间结点来更新所有的结点。假如 v到 u最短距离，还有几个结点，比如是m，n，b
 遍历这个结点，比如现在用m来更新所有的结点，看距离是不是短的，要是比之前短，就更新，否则，就不要更新，
 就是。D（u，v） = min（D（u，v），D（u，m）+D（m，v））
 这个算法三层循环，中间结点在最外面的一层。因为这样的才可以以他为中心，来遍历所有的结点
 */

#include 
using namespace std;

#define VERTEXNUM 100
#define INT_MAX 9999
class Graph{
private:
    char  vertex[VERTEXNUM];//顶点表
    int edge[VERTEXNUM][VERTEXNUM];//边表
    int vertexNum;//顶点个数
    int edgeNum;//边的个数
    int locate(char  data);//在顶点表中找data的位置
    void initEdge();
    
public:
    Graph(int vertexNum,int edgeNum);
    void create();
    void Floyd(char start ,char end);
    void printGraph();//输出
};

void Graph::printGraph(){
    cout<vertexNum = vertexNum;
    this->edgeNum = edgeNum;
    initEdge();
}
void Graph::create(){
    cout<<"input Graph data\n";
    for (int i = 0; i>vertex[I];
    }
    char start ,end;
    int wieght = -1;
    for (int j = 0; j>start>>end>>wieght;
        int startPosition = locate(start);
        int endPosition = locate(end);
        edge[startPosition][endPosition] = wieght;
        edge[endPosition][startPosition] = wieght;
    }
    
}
void Graph:: initEdge(){
    for (int i = 0;  i\t";
            k = path[i][j];
            cout<\t"<

path数组中保存的是前一个结点的位置
那怎么输出呢？
如下所示：
测试的时候是上面的图。
例如要查找 1 到 2 的对应的最短路径
先去查找path数组中，1 ，2 对应的值，结果是4，这就说明4是第一个中间结点，继续查找 path 中，4，2对应的项，发现是3，这就说明3是 2 到4 的中间结点。也就是1 到 2 的第二个中间结点，继续查找3 到 2 在path对应的项，发现是2，这就说明没有中间结点了。
输出代码如下：

image.png

这里的图的无向带权图，代码运行结果如下；

image.png