线性筛法解析

线性筛法的核心就是每个数只有一个最小质因子，且会被他的最小质因子筛掉

我们要做的是在2到n之间找出所有质数。

代码：

//首先定义一个数组primes[]用来存放质数，cnt用来记录质数个数
//st[]用来标记这个数是否被筛掉
void get_primes(int n){
    for(int i = 2; i <= n; i++){//筛选出2~n之间的质数
        if(!st[i])    primes[cnt++] = i;//如果没有被标记，则它一定是质数，将其放入primes[]数组
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j++){//从小到大枚举的所有质数
            st[primes[j]*i] = true;
            if(i % primes[j] == 0)    break;//若成立，primes[j]一定是i的最小质因子
        }
    }
}        

首先需要判断 i 是质数还是合数，如果是质数就将它放入primes[ ] 数组。

在第二个for循环中，将primes[ j ]的 i 倍筛掉（i 是从小到大依次遍历）

若存在一个合数X，设primes[ j ] 是它的最小质因子，当 i 枚举到X之前，一定会先枚举到X / primes[ j ]，而在那时，就已经先将X筛掉了。所以任何一个合数一定会被筛掉，是因为我们只用最小质因子来筛，但每个数只有一个最小质因子，所以每个数都只会筛一遍。例如 X = 12，2是12的最小质因子，在枚举到12之前一定会先枚举到6，并执行了st[ 2 * 6] = true，所以 i == 12 时，不会进入primes[ j ]数组  ；

最后的if语句有两种情况：

（1）若 i % primes[ j ] == 0 ，则说明 primes[ j ] 是 i 的最小质因子，那么primes[ j ] 也一定是primes[ j ] * i 的最小质因子。例如：4 % 2 == 0 ，2 是 4的最小质因子，且 2 也是2 * 4 的最小质因子。

（2）若i % primes[ j ] != 0 ，由于我们是从小到大枚举的所有的质数，并且我们没有枚举到 i 的任何一个质因子，则此时primes[ j ] 一定小于 i 的所有质因子，但是primes[ j ] 也一定是primes[ j ] * i 的最小质因子。

例如：9 % 2 ！= 0，2 一定小于 9 的最小质因子，但 2 一定是2 * 9 的最小质因子。（9的最小质因子是3，9要枚举到3才break，但9 * 2 的最小质因子是 2，当枚举到2时就可以break ）

再例如：5 % 2 != 0，但5 * 2 的最小质因子是2

              5 % 3 != 0，但5 * 3 的最小质因子是3

              5 % 5 == 0，且5 * 5 的最小质因子是5，记录5 * 5 之后退出

            （没有5 * 4，因为4是合数，而primes[ ] 数组中只有质数）

模拟过程：

牢记一句：我们筛的每一个数，一定是用我们的最小质因子去筛它。

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下面来看一个源代码筛质数：

给定一个正整数 n，请你求出 1∼n中质数的个数。

输入格式

共一行，包含整数 n。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示 1∼n中质数的个数。

数据范围

1≤n≤106

输入样例：8

输出样例：4

import java.util.Scanner;

public class Main {
	static int N = 1000010;
	static int primes[] = new int[N];
	static boolean st[] = new boolean[N];
	static int cnt = 0;
	static int get_primes(int n){
		for(int i = 2; i <= n; i++){
			if(!st[i])    primes[cnt++] = i;
		    for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j++){
		         st[primes[j]*i] = true;
		         if(i % primes[j] == 0)    break;
		    }
		}
		return cnt;
	}
	public static void main(String []args) {
		Scanner s1 = new Scanner(System.in);
		int n = s1.nextInt();
		System.out.println(get_primes(n));
	}
}