LA@二次型@标准化相关原理和方法

标准化方法

正交变换法

• 二次型可标准化定理的证明过程给出使用二次型标准化的步骤

• 该方法通过计算出一个特定的正交矩阵$\mathbf{P}$,并用$\mathbf{P}$来进行线性变换实现得到标准形

求矩阵的特征值

• 求出$n$元二次型矩阵$\mathbf{A}$的全部特征值${\lambda }_i$,它们分别是$n_i$重根(而且对应$n_i$个线性无关的特征向量)

  • ${\sum }_i^s{n}_i=n$,$i=1,2,\cdots ,s$(表示A有s个互异的特征根)

求各特征值对应的线性无关特征向量组

• 对每个${\lambda }_i$求出对应的齐次线性方程组$({\lambda }_{\mathbf{i}}\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$的基础解系${\Phi }_i$(包含$n_i$个线性无关向量)

  • ${\Phi }_i:{\alpha }_1^{(i)},\cdots ,{\alpha }_{n_i}^{(i)}$,$i$表示向量(组)属于特征值${\lambda }_i$,包含$n_i$个线性无关的向量

正交化各个向量组

• 分别对${\Phi }_1,\cdots ,{\Phi }_s$正交化得到向量组$\Psi ={\varphi }_1,\cdots ,{\varphi }_s$(${\varphi }_i是{\Phi }_i$正交化后的向量组)

• 令矩阵$\mathbf{P}=(\Psi )$,则$\mathbf{P}$能使${\mathbf{P}}^{\mathbf{T}}\mathbf{AP}=\mathbf{\Lambda }$=$\text{diag}({\lambda }_i,\cdots ,{\lambda }_n)$

• 则正交线性变换$\mathbf{x}=\mathbf{Py}$就是所求的线性变换

  • $\mathbf{y}=(y_1,\cdots ,y_n{)}^T$

  • $$f(x_1,\cdots ,x_n)\stackrel{x=Qy}{}g(y_1,\cdots ,y_n)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{y}_i^2$$

配方法

• 用正交变换化二次型成标准形,具有保持几何形状不变的优点
• 如果不局限于用正交变换,还可以有多种方法确定一个一般的可逆矩阵来标准化二次型
• 例如拉格朗日配方法,其原理和依据参见二次型可标准化定理的配方角度证明过程

步骤

• 若$f(x_1,\cdots ,x_2)={\sum }_{i=2}^n{\sum }_{j=2}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$,$a_{ji}=a_{ij}$包含$x_i$的平方项(设为$a_{ii}{x}_i^2$),那么将$x_i$相关的项集中求和,记为$u_i={\sum }_{j\ne i}^{n}2a_{ij}{x}_i{x}_j$;对${\eta }_i=a_{ii}{x}_i^2+u_i$进行配方,得到形如${\eta }_i=b_i(x_i+\cdots {)}^2+\cdots$,从而$f={\eta }_i+v_i$=$b_i(x_{ii}+\cdots {)}^2+\cdots +v_i$(1),
  • 其中$v_i=f-{\eta }_i={\sum }_{r,j\ne i}{a}_{rj}{x}_r{x}_j$
  • 易知,(1)式中只有第一项$b_i(x_i+\cdots {)}^2$包含$x_{ii}$,其余项不包含$x_{ii}$
  • 不断地对(1)中的下一个平方项进行配方(理论分析中已经指出,(1)包含了所有$x_i$的平方项$i=1,\cdots ,n$,最终所有$x_i,i=1,\cdots ,n$都会被配方成形如$b_i(x_{ii}+\cdots {)}^2$的形式
  • 构造线性变换:$y_i=x_i+\cdots$,(2)$(i=1,\cdots ,n)$;求解该线性方程组,得到线性变换$x_i=y_i-\cdots$(3)
  • 那么线性变换(3)就能够使$f$标准化
• 若$f$中不包含任意平方项,但是包含某个$a_{ij}\ne 0$,$i\ne j$则运用线性变换
  • $x_i=y_i-y_j$
  • $x_j=y_i+y_j$
  • $x_k=y_k$,$k=1,\cdots ,n$且$k\ne i,j$
  • 代入该线性变换到$f$可以将此类情况转换为第一种情况(包含平方项)求解

例

• $f(x_1,x_2,x_3)=4(x_1^2+x_2^2+x^3+x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)$

• 配方得到(0)
  $$\begin{array}{rl}f(x_1,x_2,x_3)& =4(x_1^2+x_1(x_2+x_3)+x_2^2+x_3^2+x_2{x}_3)\\ & =4[(x_1+\frac{1}{2}{x}_1(x_2+x_3){)}^2-\frac{1}{4}(x_2+x_3{)}^2+x_2^2+x_3^2+x_2{x}_3]\\ & =4(x_1+\frac{1}{2}(x_2+x_3){)}^2-(x_2^2+2x_2{x}_3+x_3^2)+4(x_2^2+x_3^2+x_2{x}_3)\\ & =4(x_1+\frac{1}{2}(x_2+x_3){)}^2+3x_2^2+3x_3^2+2x_2{x}_3\\ & =4(x_1+\frac{1}{2}(x_2+x_3){)}^2+3(x_2^2+\frac{2}{3}{x}_2{x}_3)+3x_3^2\\ & =4(x_1+\frac{1}{2}(x_2+x_3){)}^2+3[(x_2+\frac{1}{3}{x}_3{)}^2-\frac{1}{9}{x}_3^2]+3x_3^2\\ & =4(x_1+\frac{1}{2}(x_2+x_3){)}^2+3(x_2+\frac{1}{3}{x}_3{)}^2-\frac{1}{3}{x}_3^2+3x_3^2\\ & =4(x_1+\frac{1}{2}(x_2+x_3){)}^2+3(x_2+\frac{1}{3}{x}_3{)}^2+\frac{8}{3}{x}_3^2\end{array}$$

• 令$\{\begin{array}{ll}{y}_1=& x_1+\frac{1}{2}(x_2+x_3)\\ y_2=& x_2+\frac{1}{3}{x}_3\\ y_3=& x_3\end{array}$(1);则$f(x_1,x_2,x_3)=g(y_1,y_2,y_3)=4y_1^2+3y_2^2+\frac{8}{3}{y}_3^2$,这是一个标准形二次型

• 通过解线性方程组(1),得$\mathbf{y}\to \mathbf{x}$所用的线性变换$\mathbf{x}=\mathbf{Qy}$

  • $x_1=y_1-\frac{1}{2}{y}_2-\frac{1}{3}{y}_3$

  • $x_2=y_2-\frac{1}{3}{y}_3$

  • $x_3=y_3$

  • 变换矩阵: Q = ( 1 − 1 2 − 1 3 0 1 − 1 3 0 0 1 ) \bold Q=\begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{3}\\0&1&-\frac{1}{3}\\0&0&1\end{pmatrix} Q= ​100​−21​10​−31​−31​1​ ​

  • 求变换矩阵也可利用可逆线性变换的逆变换公式:若$\mathbf{y}=\mathbf{Cx}$则$\mathbf{x}={\mathbf{C}}^{-1}\mathbf{y}$,也是计算 C = ( 1 1 2 1 2 0 1 1 3 0 0 1 ) \bold C=\begin{pmatrix}1&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&1&\frac{1}{3}\\0&0&1\end{pmatrix} C= ​100​21​10​21​31​1​ ​的逆矩阵$\mathbf{C}$,则$\mathbf{Q}={\mathbf{C}}^{-1}$

  • 将此线性变换代入$f$或者$g$中就可得到$f$的标准形:$f=4y_1^2+3y_2^2+\frac{8}{3}{y}_3^2$,这个表达式可以从已经配好方的式(2)中直接读出(将平方项依次用$y_1,\cdots ,y_n$代替)

例

• $f(x_1,x_2,x_3)=x_1{x}_2+x_1{x}_3+2x_2{x}_3$标准化

  • 对于$x_1{x}_2$

    • T : { x 1 = y 1 − y 2 x 2 = y 1 + y 2 x 3 = y 3 T = ( 1 1 0 1 − 1 0 0 0 1 ) T:\begin{cases} x_1=y_1-y_2\\ x_2=y_1+y_2\\ x_3=y_3 \end{cases} \\ T=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 1&-1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} T:⎩ ⎨ ⎧​x1​=y1​−y2​x2​=y1​+y2​x3​=y3​​T= ​110​1−10​001​ ​

    • 把线性变换$\mathbf{x}=\mathbf{Ty}$带入$f$;

      • $$\begin{gathered} f=(y_1-y_2)(y_1+y_2)+(y_1-y_2)y_3+2(y_1+y_2)(y_3) \\ =y_1^2-y_2^2+y_1{y}_3-y_2{y}_3+2y_1{y}_3+2y_2{y}_3 \\ =y_1^2-y_2^2+3y_1{y}_3+y_2{y}_3 \end{gathered}$$

    • 问题转换为第一种类型,配方得:式(1)

      • $$g(y_1,y_2,y_3)=(y_1+\frac{3}{2}{y}_3{)}^2-(y_2+\frac{1}{2}{y}_3{)}^2-2y_3^2$$

    • 令
      $$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{z}_1=y_1+\frac{3}{2}{y}_3\\ z_2=y_1+\frac{1}{2}{y}_3\\ z_3=y_3\end{array} \\ f=z_1^2-z_2^2-2z_3^2 \end{gathered}$$

    • 解上述线性方程组,得新线性变换$\mathbf{y}=\mathbf{Qz}$及其变换矩阵:
      { y 1 = z 1 − 3 2 z 3 y 2 = z 2 − 1 2 z 3 y 3 = z 3 Q = ( 1 0 − 3 2 0 1 − 1 2 0 0 1 ) \begin{cases} y_1=z_1-\frac{3}{2}z_3\\ y_2=z_2-\frac{1}{2}z_3\\ y_3=z_3 \end{cases} \quad Q=\begin{pmatrix} 1&0&-\frac{3}{2}\\ 0&1&-\frac{1}{2}\\ 0&0&1 \end{pmatrix} ⎩ ⎨ ⎧​y1​=z1​−23​z3​y2​=z2​−21​z3​y3​=z3​​Q= ​100​010​−23​−21​1​ ​

    • 根据线性变换乘法和矩阵乘法的关系$(\mathbf{x}=\mathbf{Ty}=\mathbf{T}(\mathbf{Qz})=(\mathbf{TQ})\mathbf{z})$,可求得能将$f$标准化的线性变换$\mathbf{x}=\mathbf{Cz}$的变换矩阵$\mathbf{C}$为
      C = T Q = ( 1 1 0 1 − 1 0 0 0 1 ) ( 1 0 − 3 2 0 1 − 1 2 0 0 1 ) = ( 1 1 − 2 1 − 1 − 1 0 0 1 ) C=TQ =\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 1&-1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&-\frac{3}{2}\\ 0&1&-\frac{1}{2}\\ 0&0&1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&1&-{2}\\ 1&-1&-1\\ 0&0&1 \end{pmatrix} C=TQ= ​110​1−10​001​ ​ ​100​010​−23​−21​1​ ​= ​110​1−10​−2−11​ ​

    • 由式(1),标准化后的二次型为$f=z^2-z_2^2-2z_3^2$

初等变换法

• 正交变换法和配方法需要考虑的东西较多,操作起来不是很方便,下面介绍一种利用初等变化法来求出能够标准化给定二次型的线性变换矩阵
• 这个方法的基本原理和利用初等变换操作求解方阵的逆矩阵相同,都是利用一个$n$阶单位阵来记录一系列的初等变换,得到想要的矩阵

原理

• 任意实$n$阶对称阵$A$都合同于对角阵$\Lambda$,即存在可逆矩阵$\mathbf{P}$,使得${\mathbf{P}}^{\mathbf{T}}\mathbf{AP}=\mathbf{\Lambda }$

• 而可逆矩阵$\mathbf{P}$可以表示为若干初等矩阵的乘积;$\mathbf{P}$=${\mathbf{P}}_1\cdots {\mathbf{P}}_s$,从而有$({\mathbf{P}}_1\cdots {\mathbf{P}}_{\mathbf{s}}{)}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}({\mathbf{P}}_1\cdots {\mathbf{P}}_{\mathbf{s}})=\mathbf{\Lambda }$,即${\mathbf{P}}_{\mathbf{s}}^{\mathbf{T}}\cdots {\mathbf{P}}_1^{\mathbf{T}}\mathbf{A}{\mathbf{P}}_1\cdots {\mathbf{P}}_{\mathbf{s}}=\mathbf{\Lambda }$(1)

• 初等矩阵的转置仍然是初等矩阵,并且矩阵$\mathbf{A}$左乘${\mathbf{P}}_i^T$并右乘${\mathbf{P}}_i$相当于对矩阵$\mathbf{A}$作成对的同类型同顺序的行列初等变换(原理参考初等矩阵的性质)

• 因此,我们可以通过将$\mathbf{A}$经过成对初等变换转换为一个对角阵$\mathbf{\Lambda }$

  • 这个过程对应于(1),每一次初等行变换对应于${{\mathbf{P}}^{\mathbf{T}}}_i$,绑定的列变换对应于${\mathbf{P}}_i$
  • 容易发现$\mathbf{P}$=${\mathbf{P}}_1\cdots {\mathbf{P}}_s$,因此再整个对角化过程中,只需要收集每一次的列变换
  • 收集${\mathbf{P}}_1\cdots {\mathbf{P}}_s$的方法是用一个$n$阶单位阵同步对角化过程中的所有列变换
    • 原理是:$\mathbf{E}{\mathbf{P}}_1\cdots {\mathbf{P}}_s$=$\mathbf{EP}$=$\mathbf{P}$
    • 我们对行变换不感兴趣,当然行变换也是可以的,求出的是${\mathbf{P}}^T$,需要再次转置才能得到$\mathbf{P}$,因此我们直接选择收集列变换更加直接

• 这部分对初等变换法求解标准化二次型的线性可逆变换矩阵的可行性和正确性给出证明,并且给出了具体的操作方法

总结初等变换法的步骤

• 构造松散分块矩阵$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathbf{A}}{\mathbf{E}}\right)$并执行初等变换

  • 之所以称为松散,因为我们在将$A$变换为$\Lambda$时,分块E只需要接收列变换${\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2\cdots {\mathbf{P}}_{\mathbf{s}}$​,而不需要做行变换(即忽略行变换)

  • 在实际的操作中,可以分为行变换阶段和列变换阶段

    1. 我们可以先将矩阵$\mathbf{A}$用一系列的初等行变换化为上三角矩阵,这部分变换对应于$\mathbf{L}={\mathbf{P}}_{\mathbf{s}}^{\mathbf{T}}\cdots {\mathbf{P}}_1^{\mathbf{T}}\mathbf{A}$,即依次执行${\mathbf{P}}_1^T\cdots {\mathbf{P}}_s^T$
       • $\mathbf{L}=({\mathbf{P}}_{\mathbf{s}}^{\mathbf{T}}(\cdots ({\mathbf{P}}_1^{\mathbf{T}}\mathbf{A})\cdots ))$
    2. 然后再执依次行对应的列变换${\mathbf{P}}_1\cdots {\mathbf{P}}_{\mathbf{s}}$
       • $\mathbf{R}=((\cdots (\mathbf{L}{\mathbf{P}}_1)\cdots ){\mathbf{P}}_{\mathbf{s}})$
       • 显然$\mathbf{\Lambda }=\mathbf{R}={\mathbf{P}}_{\mathbf{s}}^{\mathbf{T}}\cdots {\mathbf{P}}_1^{\mathbf{T}}\mathbf{A}{\mathbf{P}}_1\cdots {\mathbf{P}}_{\mathbf{s}}$
       • 可见这种变换顺序是正确的

  • 当$\mathbf{A}$被一系列成对的初等行列变换转为对角阵$\Lambda$,则记录列变换的$\mathbf{E}$也就变成了$\mathbf{P}={\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2\cdots {\mathbf{P}}_{\mathbf{s}}$

• 因此$\mathbf{P},\mathbf{\Lambda }$是同时被求解出来:

  • 得到的$\mathbf{P}$就是能够满足${\mathbf{P}}^{\mathbf{T}}\mathbf{AP}=\mathbf{\Lambda }$(即,使二次型标准化)的可逆矩阵,对应的线性变换为$\mathbf{x}=\mathbf{Py}$

例

• 用初等变换法将$f(x_1,x_2,x_3)$=$x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1{x}_2+4x_1{x}_3-6x_2{x}_3$

• 解

  • $f$的系数矩阵为

  • A = ( 1 − 1 2 − 1 2 − 3 2 − 3 2 ) \bold{A}=\begin{pmatrix} 1&-1&2\\ -1&2&-3\\ 2&-3&2 \end{pmatrix} A= ​1−12​−12−3​2−32​ ​

  • 将$\mathbf{A}$进初等变换化为对角阵$\mathbf{\Lambda }$

    • 先执行初等列变换$\mathbf{L}={\mathbf{P}}_1^T\cdots {\mathbf{P}}_s^T\mathbf{A}$使$\mathbf{A}$化为上三角阵

    • A → r 2 + r 1 ; r 3 − 2 r 1 ( 1 − 1 2 0 1 − 1 0 − 1 − 2 ) → r 3 + r 2 ( 1 − 1 2 0 1 − 1 0 0 − 3 ) = L \bold{A}\xrightarrow{r_2+r_1;r_3-2r_1} \begin{pmatrix} 1&-1&2\\ 0&1&-1\\ 0&-1&-2 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3+r_2} \begin{pmatrix} 1&-1&2\\ 0&1&-1\\ 0&0&-3 \end{pmatrix} =\bold{L} Ar2​+r1​;r3​−2r1​ ​ ​100​−11−1​2−1−2​ ​r3​+r2​ ​ ​100​−110​2−1−3​ ​=L

    • 再依次地执行对称的列变换$\mathbf{R}=\mathbf{L}{\mathbf{P}}_1\cdots {\mathbf{P}}_s$(1)

    • L → c 2 + c 1 ; c 3 − 2 c 1 ( 1 0 0 0 1 − 1 0 0 − 3 ) → c 3 + c 2 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 − 3 ) = R \bold{L}\xrightarrow{c_2+c_1;c_3-2c_1} \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&-3 \end{pmatrix} \xrightarrow{c_3+c_2} \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-3 \end{pmatrix} =\bold{R} Lc2​+c1​;c3​−2c1​ ​ ​100​010​0−1−3​ ​c3​+c2​ ​ ​100​010​00−3​ ​=R

    • 再计算$\mathbf{P}=\mathbf{E}{\mathbf{P}}_1\cdots {\mathbf{P}}_s$(2)

    • E = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) → c 2 + c 1 ; c 3 − 2 c 1 ( 1 1 − 2 0 1 0 0 0 1 ) → c 3 + c 2 ( 1 1 − 1 0 1 1 0 0 1 ) = P \bold{E}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \xrightarrow{c_2+c_1;c_3-2c_1} \begin{pmatrix} 1&1&-2\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \xrightarrow{c_3+c_2} \begin{pmatrix} 1&1&-1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix} =\bold{P} E= ​100​010​001​ ​c2​+c1​;c3​−2c1​ ​ ​100​110​−201​ ​c3​+c2​ ​ ​100​110​−111​ ​=P

  • 从而 Λ = R = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 − 3 ) \bold{\Lambda=R}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&-3 \end{pmatrix} Λ=R= ​100​010​00−3​ ​; P = ( 1 1 − 1 0 1 1 0 0 1 ) \bold{P}=\begin{pmatrix} 1&1&-1\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix} P= ​100​110​−111​ ​

  • 即线性变换$\mathbf{x}=\mathbf{Py}$代入$f(\mathbf{x})$,得标准形$f(\mathbf{x})=f(\mathbf{Py})$=$g(\mathbf{y})$=${\mathbf{y}}^{\mathbf{T}}\mathbf{\Lambda }\mathbf{y}$,其中$\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)$,$\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)$

  • 用求和式表示为$f$=$y_1^2+y_2^2-3y_3^2$