两类Stirling数性质及应用

请大家注意：

因为作者写的文章中的梯等式公式总是莫名的显示错误，所以作者的许多文章中的梯等式都暴力拆成一步一个等式了。
造成的不适，请谅解。
同时，如果文章中还有其他错误，请联系作者，谢谢。

问题模型

求将个数划分成个圆排列的方案数。
求将个数划分成个集合的方案数，集合没有标号。

公式推导——递推

我们
设第一个问题的答案是，
设第二个问题的答案是。
那么不难写出递推式：

公式推导——拓展

求第一类斯特林数的某一行

我们考虑按照递推式推导出它的生成函数。
显然。
之后，我们有：

那么不难得出：,
我们也可以写成,
上面的式子是可以分治的，那么我们就可以求出一行了。
在这里我们介绍一种更优秀的的求一行第一类斯特林数的方法。
我们考虑倍增求出这个函数。
假设我们已经有了，
考虑求出。
我们发现。
如果我们可以快速求出，就赢了。
显然是一个关于的次多项式，
那么我们设，而是我们已经求出来的。
则
$\begin{align} S_{1,n}(x+n) &= \sum_{i=0}^{n} a_i (x+n)^i \\ &= \sum_{i=0}^{n} a_i \sum_{j=0}^{i} C(i,j) n^{i-j} x^j \\ &= \sum_{j=0}^{n} x^j \sum_{i=j}^{n} C(i,j) n^{i-j} a_i \\ &= \sum_{i=0}^{n} x^i \sum_{j=i}^{n} C(j,i) n^{j-i} a_j \\ &= \sum_{i=0}^{n} x^i \sum_{j=i}^{n} \frac{j!}{i!(j-i)!} n^{j-i} a_j \\ &= \sum_{i=0}^{n} \frac{x^i}{i!} \sum_{j=i}^{n} \frac{n^{j-i}}{(j-i)!} j! a_j \\ \end{align}$
注意到式中，第二个是一个减法卷积，那么我们就可以了。
于是，我们就可以倍增出了。
时间复杂度。

第一类斯特林数和阶乘

由第一类斯特林数的定义，显然。
这是由排列与置换和轮换的关系推导出来的。

第一类斯特林数和上升/下降幂

因为第一类斯特林数的生成函数就是，
所以接下来我们考虑下降幂的展开：

于是我们就可以定义出有符号第一类斯特林数。
及。
并且有符号第一类斯特林数的生成函数就是。

第二类斯特林数和自然数的幂

我们考虑的组合意义：有个有标号的盒子，有个有标号的球，每个球随便放的方案数。
因为我们有表示将个有标号的球分成个非空集合的方案数。
那么我们不难写出：

其实就是枚举在个盒子中用了几个，盒子还有标号，所以乘阶乘。

求第二类斯特林数的某一行

我第一眼看到式，觉得好像可以二项式反演？
那么我们设：

于是，式就可以写成：

这显然可以二项式反演：

那么我们其实就已经推出的通项公式了：

$\begin{align} S_2(n,m) &= \frac{1}{m!} \sum_{i=0}^{m} C(m,i) (-1)^{m-i} i^n \\ &= \frac{1}{m!} \sum_{i=0}^{m} C(m,i) (-1)^i (m-i)^n \\ &= \sum_{i=0}^{m} \frac{(-1)^i}{i!} \times \frac{(m-i)^n} {(m-i)!} \end{align}$
这样，我们就可以求出第二类斯特林数的一行了。

两类斯特林数的生成函数

为了表示清晰，我们用

表示第一类斯特林数第行的生成函数。
表示第二类斯特林数第行的生成函数。
表示第一类斯特林数第列的生成函数。
表示第二类斯特林数第列的生成函数。

那么通过递推式，我们可以得出：

第一类斯特林数——行：

第二类斯特林数——行：

第二类斯特林数——列：

此时我们可以在用之前的倍增做法将优化至。

第一类斯特林数——列：放弃！！！看题解吧。。。

斯特林反演——反转公式

给出一个显然~~而且之前也用过~~的式子：

那么我们将其代入之前的一个式子：

此时我们想到第一类斯特林数的生成函数，有：

对比两侧的系数，而且这个式子对于任意都满足，所以有：

如果我们是用来推导还可以得到另一个式子：

放在一起就是：

斯特林反演——反演公式：

假设我们知道，
求关于的表达式。
我们考虑一个及其显然的式子：

同理，那么我们可以得到这些公式：