分析力学基本原理介绍3：非保守力系统和耗散函数

在2.中我们在系统只存在理想双侧完整定常约束的前提下，利用达朗伯原理推导出了拉格朗日方程。对于广义力，我们仅仅假设了，如果主动力能够通过对一个只依赖广义坐标的势函数求导得到，即，那么广义力。但事实上，即使不存在这样的势函数，只要一个函数能够满足关系：，代入之前从达朗伯原理中得到的结论我们就可以发现

$\frac{\partial T}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_j}}\right) = -\frac{\partial V}{\partial q_j} + \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial V}{\partial \dot{q_j}}\right) \implies \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_j} - \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_j}} \right) = 0$

拉格朗日方程是依然成立的。

只是现在的拉式函数具有形式

我们称这类依赖广义速度的函数为广义势(generalized potential)，以此将其与一般的势函数区分开来。

广义势的应用并不少见，比如在电磁学中，一个电荷量为，质量为，以速度在电场和磁场中运动，洛伦兹力为：，电场与磁场都是关于坐标（就拿笛卡尔为例）与时间的连续可微函数，存在标量场和矢量势且：

所以对应的势能为：

可见其具有对速度的依赖性。

对应的拉格朗日函数为：

代入拉格朗日方程我们能够得到三个方程，方向各对应一个。如果只考虑方向上的方程，则有：

矢量势，其各分量皆为坐标与时间的函数，所以对时间全导为：

$\begin{align*}\frac{dA_x}{dt} &= \boldsymbol{\nabla}A_x \boldsymbol{\cdot}\mathbf{v} + \frac{\partial A_x}{\partial t}\\ &= \frac{\partial A_x}{\partial t} + v_x\frac{\partial A_x}{\partial x} + v_y\frac{\partial A_x}{\partial y} + v_z\frac{\partial A_z}{\partial z}\end{align*}$

代入运动方程我们可以发现其等价于：

三个方向都考虑的话，我们就又回到了洛伦兹力的矢量表达式：

可见，拉格朗日方程在存在速度依赖性的势函数的情况下依然成立。

综上，我们得到的结论是：系统中即便是在存在一些无法通过势函数得到的作用力，拉格朗日方程也总是可以被写成下面的形式:

其中只包含了保守力所对应的势能，则是那些无法通过势函数得到的非保守力。

比较典型的例子就是考虑摩擦力的系统了，比如和速度成正比的摩擦力：，其中

这类摩擦力可由一个函数得到，其具有形式：

它被叫做瑞丽耗散函数(Rayleigh's dissipation function)，指标表示了对系统内所有微粒的加和。

不难看出，。

考虑系统经过时间克服摩擦力的做功：

可以得到，即系统在摩擦力作用下的能量耗散率为的二倍，这是它的物理意义。

另外一个例子是斯笃克斯定律：，该表达式则描述的是一个半径为，速度为的球体在粘度(viscosity)为的流体中所受粘滞力的大小，这种情况下的球体通常具有较小的雷诺数(Reynolds number)。

广义力可以用含有的式子表示：

$Q_j = \sum_j \mathbf{F}^{(f)}_{i} \boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} = -\sum \boldsymbol{\nabla}_v\mathcal{F} \boldsymbol{\cdot}\frac{\partial \mathbf{r}_i}{\partial q_j} = -\sum \boldsymbol{\nabla}_v\mathcal{F} \boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_i}{\partial \dot{q_j}} = -\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \dot{q_j}}$

所以对应的拉格朗日方程为：

当给定和时，便可使用上述表达式得到运动方程。

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