超图聚类论文阅读1：Kumar算法

超图聚类论文阅读1：Kumar算法

《超图中模块化的新度量：有效聚类的理论见解和启示》

《A New Measure of Modularity in Hypergraphs: Theoretical Insights and Implications for Effective Clustering》

COMPLEX NETWORKS 2020, SCI 3区

具体实现源码见HyperNetX库

工作：

1. 针对超图聚类问题推广了模块度最大化框架
2. 引入了一个超图空模型，它与无向图的配置模型完全对应。
3. 推导出一个保留超图节点度序列的邻接矩阵缩减

成果：

1. 使用 Louvain 方法最大化由此产生的模块化函数，已知在图实践中效果很好
2. 在几个真实世界的数据集上展示了我们的方法的有效性

简介

先前工作

• 注意力限制在 k-均匀超图上，其中所有超边具有相同的固定大小。

  提出合适的超图拉普拉斯算子来扩展一般超图的谱聚类框架——隐含了图扩展的思想

• 模块度最大化是图上聚类的另一种方法，它提供了一个标准来衡量模块化函数中的集群质量

  经典方法为louvain算法

• 团扩展问题：会丢失编码在超边结构中的关键信息。也不会保留超图的节点度——这是模块度最大化方法基于的零模型所必需的

• 有多种切割超边的方法。根据切割不同侧节点的比例和分配，聚类将发生变化。需要考虑超边权重

本文贡献

1. 在超图上定义了一个空模型（可以保持超图节点度信息），并使用上述定义了一个模块化函数，可以使用 Louvain 方法将其最大化。
2. 提出了一种迭代超边重新加权过程，该过程利用来自超图结构的信息和超边切割的平衡。
3. 在几个真实世界的数据集上凭经验评估了生成的算法，证明了其相对于竞争基线的有效性和效率。

背景知识

1. 超图——关联矩阵、团扩展
2. 模块度

超图模块度

节点的采样概率与其参与的超边的数量（或在加权情况下，总权重）成正比
$$P_{ij}^{hyp}=\frac{d(i)\times d(j)}{{\sum }_{v\in V}d(v)}$$

• 在进行团扩展时，相应图中节点的度数与它在图中的度数不同原始超图

对于每个超边 e，节点度被多算了一个因子 (δ(e) − 1)。因此，我们可以通过将每个 w(e) 缩小一个因子 (δ(e) − 1) 来纠正它。这导致以下更正的邻接矩阵：
$$A^{hyp}=HW{\left(D_e-I\right)}^{-1}{H}^T$$
我们可以使用这种保留节点度数的缩减，将对角线归零，以实现方程式中的空模型。

超图模块度的表达式：
$$Q^{hyp}=\frac{1}{2m}\sum _{ij}\left[A_{ij}^{hyp}-P_{ij}^{hyp}\right]\delta \left(g_i,g_j\right)$$
与任何加权图一样，此函数的范围是 [−1, 1]。当超边中没有一对节点属于同一集群时，我们将得到 Qhyp = −1，而当属于同一超边的任何两个节点始终属于同一集群时，我们将得到 Qhyp = 1。 Qhyp = 0，对于任何一对节点 i 和 j，同时包含 i 和 j 的超边数等于包含 i 和 j 的随机连线超边数，由空模型给出。

迭代超边重新加权

问题：最小切割算法会支持尽可能不平衡的切割

思路：我们希望在簇中保留不平衡的超边，并切割更平衡的超边——可以通过增加获得不平衡切割的超边的权重，并减少获得更平衡切割的超边的权重来完成。

超边被一分为二，两边节点数分别为k1、k2：
$$t=\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)\times \delta (e)$$

当$k1=k2=\delta (e)/2$时，t取最小值4，推广上式：
$$w^{\prime }(e)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^c\frac{1}{k_i+1}[\delta (e)+c]$$
——+1 和 +c 项都被添加用于平滑，以解决任何 ki 为零的情况。我们除以 m 来归一化权重

令 wt(e) 为超边 e 在第 t 次迭代中的权重，w’(e) 为在给定迭代中计算的权重，则权重更新规则可写为：
$$w_{t+1}(e)=\alpha w_t(e)+(1-\alpha )w^{\prime }(e)$$

示例

初始的切分很不均匀，有1：4、1：2、2：3等切分，改进后，不均匀的切割被去除——h1 和 h3 中的单个节点最初分配给另一个集群，已被拉回它们各自的（更大的）集群。

实验

度量指标：

• 使用平均 F1 度量 和兰德指数RI来评估具有真实类别标签的真实世界数据的聚类性能

几种用作对比的方法：

1. 团扩展+louvain

2. 超图谱聚类

3. hMETIS 和 PaToH

数据集：

• MovieLens：联合导演
• Cora 和 Citeseer：论文共同作者
• TwitterFootball：足球俱乐部
• Arnetminer：共引论文

结果：

• 在所有数据集上显示最佳平均 F1 分数、在除一个数据集外的所有数据集上显示最佳兰德指数分数
• 在所有数据集和两种实验设置上都优于各自的团扩展方法
• f分析得出碎片边增加，这可能对应于更平衡的切割

结论

• 考虑了超图上的模块化最大化问题。在提出超图的模块化函数时，我们推导出了一个节点度保持图缩减和一个超图空模型
• 为了进一步细化聚类，我们提出了一种超边重新加权过程，可以平衡聚类方法引起的切割
• 迭代重新加权模块化最大化 (IRMM)在数据集上表现出不错的性能