带有两个/三个未知数的算数-几何均值不等式的证明及其思路解析

这是一篇学习手记。

注：尽管文中大量使用了“一个显然的想法…”“自然而然，我们会想…”等词语，我们也必须承认，这些伟大成果的证明需要天才的思路和不断的尝试。因此，第一次学习理解不了是很有可能的。（比如我）

基础：带有两个未知数的算数-几何均值不等式的证明：

存在如下不等式：

由①可以得出一个推论：（我们在下面顺便给出①的证明）

上面证明中的第三行用到了换元思想，这是一种重要的思想。

带有三个未知数呢？

我们称②为带有两个未知数的算数-几何均值不等式（有些教材也称为基本不等式），类比，我们可以猜想存在如下式子：

我们发现，类比二次的完全平方公式(a-b)^2，运用三次的完全平方公式并不能直接证明上述猜想，因此我们采取另一个常见的方法——分析法——来证明：

这时候，我们将上面遇到的问题抽象成如下问题：

解决了上面的问题后，我们继续进行推导：

但这个式子并不一定大于等于0，不同于①适用于全体实数。
自然而然，我们添加条件：

此时，显然上式≥0 。
则：