证明LCS问题等价于LIS问题

注1：这里的LCS问题是字符串a和字符串b元素相同，只是排列不同。
注2：下面提到的$f(x)$等价于序列按关键字排序，只不过换一种角度

证明：

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介绍

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LCS：LCS（Longest Common Subsequence，最长公共子序列）是指给定两个序列 S1 和 S2，找出它们最长的公共子序列的长度。

问题分解
如果 S1[i] 等于 S2[j]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，表示当前元素属于公共子序列，长度加一。
如果 S1[i] 不等于 S2[j]，则 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，表示当前元素不属于公共子序列，取左方或上方的最大值

LIS：LIS（Longest Increasing Subsequence，最长递增子序列）是指在给定序列中找到一个最长的递增子序列，其中递增子序列指的是序列中的元素依次递增排列，但不一定连续。

问题分解
创建一个一维数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长递增子序列的长度。

• 初始化 dp[i] 全部为 1，表示每个元素本身都是一个递增子序列。
• 遍历整个序列，在每个位置 i 上，通过比较之前的元素 j（从 0 到 i-1），如果 nums[i] > nums[j]（表示当前位置的元素大于之前的元素），则更新 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。
• 最终，dp 数组的最大值即为最长递增子序列的长度。

注：LIS的解法不是最优解法，这个方法更加体现本质

注解：下面提到的$LIS（x）==求x的最长上升序列$，$LCS（a，b）==求a，b的最长公共序列$

问题转换

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转换1：LIS–>LCS
LIS 问题求的是最长上升子序列，但是什么是上升子序列，上升又是怎么定义的 ?

可以有人会问：上升当然就是1，2，3，4，5这类的呀，这个又有什么好疑惑的呢？
那假如告诉你，2>3>1，那么1，2，3的最长上升子序列是多少？

所以也就是说其实上升是由我们定义的，我们认为上升的定义是1,2,3,4,5,6,7。

$---->代表某种映射f(x),经过函数后，元素被赋予某种大小关系$
$1,2,3,4,5,6,7(定义)----->1234567（越大代表相对应位置的元素越大）$

则刚刚提到的2>3>1，ta的定义就是：

$2，3，1----->1,2,3$
$f(2)=1$,说明2是其中最小的元素
$f(1)=3$,说明是其中最大的元素

注：后面的所有规则函数都用$f(x)=m,m=1,2,3,4,5,.....$表示。
那么这个关转换1什么事?

基于上面的想法，我们非常自然推出：

$LIS（x）==LCS(x,m)，m=1,2,3,4,5,......$

有了这条推论后，我们就可以进行证明了。

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解

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问题等价于

$LCS(a,b)<===>LIS(x)<===>LCS(x,m),m=1,2,3,4,5,6,.....$

回想刚刚提到的上升的规则是我们创造的，只不过默认为$1,2,3,4,5,.....$

现在我们重新定义这个规则：

$f(a)=m$

定理:函数a，b经过相同的映射空间后，不改变元素的相对顺序

即

$f(b)=x$,x保持自身元素的相对顺序

还是刚刚那个例子：

如规则1：2>3>1，规则2：3>2>1，思考：
条件：在不同的规则下，两个序列大小顺序是1，2，3；2，1，3（1当前位置元素第一小，2代表第当前位置第二小,…）,

在规则1下，$（1，2，3）--->(1,3,2),（2，1，3）-->(3,1,2)LCS(a,b)=2$
在规则2下，$(1,2,3)--->(1,2,3)，(2,1,3)----->(2,1,3)LCS(a,b)=2$

在定理1下，也就是证明了

$LCS(a,b)=LCS(f(a),f(b))=LCS(f(b),m)=LIS(f(b))$

得证